LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2007/2008
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU II
DLA KLAS II GIMNAZJUM

Zadanie 3

Czy liczba 218 + 512 jest pierwsza?

Rozwi±zanie:

WprowadĽmy oznaczenia:

x = 218 + 512 = (29)2 + (56)2

a = 29 i b = 56

Wtedy x = a2 + b2

Zauważmy, że jest to niepełny wzór skróconego mnożenia. Teraz go "dopełnię".

a2 + b2 = a2 + b2 + 2ab - 2ab

a2 + b2 = (a + b)2 - 2ab

  x = (a + b)2 - 2ab


x = (29 + 56)2 - 2*29*56

x = (29 + 56)2 - (25*53)2


Skorzystam teraz ze wzoru skróconego mnożenia: a2 - b2 = (a+b) (a-b)

x = (29 + 56 + 25*53) (29 + 56 - 25*53)

Wynika z tego że liczba 218 + 512 to iloczyn dwóch liczb naturalnych.
Wiadomo, że iloczyn dwóch liczb nat. większych od 1 nie może być liczb± pierwsz±.
Pierwszy czynnik na pewno jest większy od 1. SprawdĽmy drugi:

29 + 56 - 25 * 53
29 + 53 * 53 - 25 * 53
29 + 53 (53 - 25)
29 + 53 (125 - 32)

Widać teraz, że liczba ta jest na pewno większa od 29, a więc większa od 1.

Wniosek: liczba 218 + 512 nie jest liczb± pierwsz±.

Krzysztof Chrzanowski kl.IIa