Zadanie 1
Średnicę okręgu $AC$ podzielono na dwa odcinki $AB\text{ i }BC$ o długościach 12 cm i 4 cm.
Na odcinkach tych zbudowano półkola jak na rysunku.
Oblicz pole i obwód obszaru zamalowanego. Czy obwód tego obszaru jest większy od obwodu tego okręgu?
Zadanie 2
Udowodnij, że jeśli $n$ jest liczba naturalną nieparzystą, to różnica jej czwartej potęgi i liczby 1 jest podzielna przez 16.
Zadanie 3
Przekształć poniższe wyrażenie do najprostszej postaci.
$\frac{2b-a}{2b+a}-\frac{8ab}{a^2-4b^2}+\frac{2b}{a-2b}$
Następnie policz jego wartość dla $a=\frac{1}{3}\text{ i } b=-0,125.$
Zadanie 4
Czy $2^{18} + 5^{12}$ jest liczbą pierwszą?
Zadanie 5
Oblicz pole i obwód zamalowanej figury na rysunku obok, gdzie długość boku kwadratu jest równa 10 cm, a łuki są odpowiednio półokręgami.
Zadanie 6
Udowodnij, że dla dowolnych rzeczywistych liczb $a$, $b$ takich, $\text{że }a\cdot b \lt 0$ zachodzi nierówność $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\le -2.$
Pokaż, kiedy zachodzi równość.
Pokaż, kiedy zachodzi równość.
Zadanie 7
Długość boku kwadratu $ABCD$ jest równa 6 cm. Oblicz pole i długość obwodu części wspólnej kół ośrodkach w punktach $B \text{ i } D$ i o promieniu 6 cm.
Zadanie 8
Czy liczba $2^{14} + 7^{20}$ jest liczbą pierwszą?
Zadanie 9
Doprowadź wyrażenie algebraiczne
$\left[\left(a+\frac{ab}{a-b}\right)\cdot \left(\frac{ab}{a+b}-a\right)\right]:\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}$
do najprostszej postaci, a następnie oblicz jego wartość dla $a = -\frac{4}{5} \text{ i } b = 0,6.$
$\left[\left(a+\frac{ab}{a-b}\right)\cdot \left(\frac{ab}{a+b}-a\right)\right]:\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}$
do najprostszej postaci, a następnie oblicz jego wartość dla $a = -\frac{4}{5} \text{ i } b = 0,6.$
Zadanie 10
Która z zaznaczonych na rysunku figur, $F_1\text{ czy }F_2$, ma większe pole, jeśli trójkąt $ABC$
jest prostokątny i równoramienny, a łuki $AC\text{ i }AB$ są półokręgami zaś łuk $BC$
jest ćwiartką okręgu o środku $A?$
Zadanie 11
Pewna liczba naturalna ma 4 dzielniki, których średnia arytmetyczna jest równa 10. Znajdź wszystkie takie liczby.
Zadanie 12
Oblicz $\frac{\sqrt{8-2\cdot\sqrt{15}}}{(\sqrt[4]{5}+\sqrt[4]{3})\cdot(\sqrt[4]{5}-\sqrt[4]{3})}.$
Zadanie 13
Na kwadracie $ABCD$ o boku 5 opisano okrąg, a następnie wykreślono okrąg o środku w punkcie $A$ i promieniu $AB.$
Oblicz pole kolorowej figury widocznej na rysunku.
Zadanie 14
Rozstrzygnij czy liczby $2^{10} + 2005^{8}$ $\text{oraz } 2^{14} + 5^{8}$ są pierwsze.
Zadanie 15
Średnica $AB$ dzieli koło o środku w punkcie $O$ na dwie części. Trójkąt prostokątny $ABC$ ma przyprostokątne długości 18 cm i 24 cm. Punkt $D$ będzie środkiem odcinka $AO.$ Na odcinkach $AD, DO \text{ i }OB$ zbudowano jako na średnicach półkola tak, jak to widać na rysunku. Oblicz pole i obwód kolorowego obszaru.
Zadanie 16
Sprowadź wyrażenie
$\left(x+y-\frac{4xy}{x+y}\right):\left(\frac{x}{x+y}-\frac{y}{y-x}+\frac{2xy}{x^2-y^2}\right)$
do najprostszej postaci, a następnie policz jego wartość $\text{dla }x = 0,6 \text{ i } y = -0,4.$
$\left(x+y-\frac{4xy}{x+y}\right):\left(\frac{x}{x+y}-\frac{y}{y-x}+\frac{2xy}{x^2-y^2}\right)$
do najprostszej postaci, a następnie policz jego wartość $\text{dla }x = 0,6 \text{ i } y = -0,4.$
Zadanie 17
Wyznacz najmniejszą liczbę naturalną złożoną, która nie dzieli się przez żadną z liczb naturalnych od 2 do 100.
Zadanie 18
Oblicz $\left(1-\frac{1}{2^2}\right)\cdot \left(1-\frac{1}{3^2}\right)\cdot \text{...} \cdot \left(1-\frac{1}{2004^2}\right).$
Zadanie 19
W kwadracie $ABCD$ poprowadzono dwa okręgi o środkach w wierzchołkach $A\text{ i }B$ i promieniu równym bokowi kwadratu. Okręgi te podzieliły kwadrat na cztery obszary. Oblicz pola i obwody tych obszarów, jeśli długość boku kwadratu jest równa 5 cm.
Zadanie 20
W trapezie dane są długości podstaw 10 cm i 30 cm oraz długości przekątnych: 24 cm i 32 cm. Oblicz pole tego trapezu jeżeli jego przekątne przecinają się pod kątem prostym.
Zadanie 21
Brzeg
- trójkąta równobocznego
- kwadratu
Zadanie 22
Oblicz:
- $(4+\sqrt{15})\cdot (\sqrt{10}-\sqrt{6})\cdot \sqrt{4-\sqrt{15}},$
- $\left(\frac{2}{\sqrt{3}-1}+\frac{3}{\sqrt{3}-2}+\frac{15}{3-\sqrt{3}}\right)\cdot(\sqrt{3}+5)^{-1}.$
Zadanie 23
Doprowadź do najprostszej postaci wyrażenia:
- $\frac{1}{b(abc+a+c)} -\frac{1}{a+\frac{1}{b+\frac{1}{c}}} :\frac{1}{a+\frac{1}{b}},$
- $\frac{a^{-1}-b^{-1}}{a^{-3}-b^{-3}} :\frac{a^2b^2}{(a+b)^2-3ab} \cdot \left(\frac{a^2-b^2}{ab}\right)^{-1}.$
Zadanie 24
Pewna liczba naturalna $n$ przy dzieleniu przez 2001 i przy dzieleniu przez 2002 daje tę samą resztę 118. Jaka jest reszta z dzielenia liczby $n$ przez 33?
Zadanie 25
Uzasadnij, że jeśli $p$ jest liczbą pierwszą większą od 5, to liczba $p^4 - 1$ jest podzielna przez 240.
Zadanie 26
Uzasadnij, że wśród każdych kolejnych 18 liczb naturalnych trzycyfrowych istnieje liczba, która jest podzielna przez sumę swoich cyfr.
Uwaga. W przygotowaniach do II spotkania konkursowego można wykorzystać zbiór zadań "Liga Zadaniowa?" - strony 149, 150, 112, 52-81, 211-239.