LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2007/2008
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU II
DLA KLAS II GIMNAZJUM

Zadanie 15

Średnica AB dzieli koło o środku w punkcie O na dwie części. Trójkąt prostokątny ABC ma przyprostokątne długości 18 cm i 24 cm. Punkt D będzie środkiem odcinka AO. Na odcinkach AD, DO i OB zbudowano jako na średnicach półkoła tak, jak to widać na rysunku. Oblicz pole i obwód szarego obszaru.

Rozwiązanie

Rozmiar: 3079 bajtów

Najpierw obliczmy długość średnicy koła, oznaczmy ją jako c:
c2 = a2 + b2
c2 = 182 + 242
c2 = 324 + 576
c = 30

f jest połową c, a więc f = 15

d = e i jest połową f, a więc d = e = 7,5

Teraz policzmy pole koła: P = pf2 = 225p
P4=½ (p7,52) = ½ (56 ¼ p) = 28 1/8 p
P2 = P3 i możemy zauważyć, że przez to, gdy je dodamy otzrymamy jedno koło, więc:
P2 + P3 = p (3,752) = 14 1/16 p
P1 = ½ (24.18) = 216
A więc pole zacieniowanego obszaru wynosi:
225p - 28 1/8 p - 14 1/16 p - 216 = 182 13/16 p - 216

Taraz zajmijmy się obwodem.
Przyjmijmy, że półkole oparte na f oznaczymy jako g, półkole oparte na e jako h, a oparte na d jako i.
Wpierw policzmy obwód dużego okręgu:
Obw = 2p.15 = 30p
Następnie długości pólokręgów pod trójkątem: A więc obwód zacieniowanego obszaru wynosi:
30p + 7,5p + 7,5p + 18 + 24 = 45p + 42

Odpowiedź

Pole zacieniowanego obszaru wynosi: 225p - 28 1/8 p - 14 1/16 p - 216 = 182 13/16 p - 216, a obwód: 30p + 7,5p + 7,5p + 18 + 24 = 45p + 42

Przemysław Kwapisz