LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2007/2008
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU II
DLA KLAS II GIMNAZJUM
Zadanie 11
Pewna liczba naturalna ma 4 dzielniki, których średnia arytmetyczna jest równa 10. Znajdź wszystkie takie liczby.
Rozwiązanie
Oznaczenia:
x - szukana liczba
a, b - naturalne dzielniki liczby x różne od 1 i od x.
Komentarz: Szukana liczba ma 4 dzielniki - dzieli się przez samą siebie(x), przez 1, i przez a i b. Z tego a*b=x.
Z zadania wiem, że
(a + b + x + 1)/4 = 10 (pomnożę to przez 4)
a + b + x + 1 = 40 (x zamienię na iloczyn ab)
a + b + ab + 1=40
a(b + 1)+ b + 1=40
(a + 1)(b + 1) = 40
Komentarz: Teraz rozłożę liczbę 40 na czynniki pirwsze:
40=2*2*2*5 .
Może więc być, że:
40 = 2*20 podstawię 2 i 20 do równania 40 =(1+1)(19+1) czyli a = 1, b = 19 wiem, że a*b = x więc 19*1 = 19 ta liczba NIE SPEŁNIA WARUNKOW ZADANIA
40 = 1*40 40 = (0+1)(39+1) czyli: a = 0, b = 39 39*0 = 0 ta liczba NIE SPEŁNIA WARUNKOW ZADANIA
40 = 8*5 40 = (7+1)(4+1) czyli: a = 7, b=4 7*4=28 ta liczba NIESPEŁNIA WARUNKOW ZADANIA
40 = 10*4 40 = (9+1)(3+1) czyli: a = 9, b = 3 3*9 = 27 ta liczba SPEŁNIA WARUNKI ZADANIA
Odp: Jedyną liczbą spełniającą warunki zadania jest liczba 27
Opracował Jan Kozakiewicz