LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2007/2008
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU II
DLA KLAS II GIMNAZJUM

Zadanie 26

Uzasadnij, że wśród każdych kolejnych 18 liczb naturalnych trzycyfrowych istnieje liczba która jest podzielna przez sumę swoich syfr.

ROZWIAZANIE:

Na początek wypisałem sobie kilka takich ciągów i ich sumy cyfr.

Liczba:	100	101	102	103	104	105	106	107	108	109	110	111	112	113	114	115	116	117
Suma cyfr:	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	2	3	4	5	6	7	8	9

Liczba:	270	271	272	273	274	275	276	277	278	279	280	281	282	283	284	285	286	287
Suma cyfr:	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	10	11	12	13	14	15	16	17

Zauważyłem, że najczęściej liczby spełniające warunki zadania mają sumę cyfr równą 9 lub jej wielokrotność.

To oznacza że te liczby są wielokrotnością dziewiątki.

Jednak tak nie jest zawsze co widać w drugim ciągu (liczba 279).

W każdym ciągu tych 18 liczb znajdują się zawsze dwie wielokrotności liczby 9 i jedna z tych dwóch wielokrotności jest parzysta.

Jednak zawsze wśród kolejnych 18 liczb naturalnych znajda się dwie wielokrości liczby 9 i jedna z nich będzie parzysta, bo będą to kolejne wielokrotności liczby 9.

Z cechy podzielności wynika, że suma cyfr takich liczb dzieli się przez 9, więc albo równa się 9, albo 18, albo 27 (tylko dla liczby 999 = 9×111).

Zatem parzysta wielokrotność liczby 9 w dowolnym ciagu osiemnastu liczb będzie dzieliła się przez 18, a więc także sumę swoich cyfr, która będzie równa albo 9 albo 18.

Maciej Urbański