LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2007/2008
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU II
DLA KLAS II GIMNAZJUM

Zadanie 7.

Długość boku kwadratu ABCD jest równa 6 cm. Oblicz pole i długość obwodu części wspólnej kół o środkach w punktach B i D i o promieniu 6 cm.

Rozwiązanie.

Rysunek pomocniczy:


Rysunek nie został załadowany. NIe martw się, to tylko rysunek pomocniczy 1. Aby obliczyć pole części wspólnej (2x) postanowiłem skorzystać ze wzoru na pole wycinka koła o kącie środkowym

S=((alfa-stopni)/360-stopni)*Pi*r^2

S=((90-stopni)/360-stopni)*Pi*r^2=(1/4)*Pi*r^2=9*Pi(cm)

Wynik, który otrzymaliśmy jest to pole trójkąta ACD i x. Aby otrzymać samo x musimy najpierw wyliczyć pole trójkąta i odjąć je od w/w wyniku.

Pole trójkąta = (r^2/2)=18(cm)

x=9*Pi-18 =ok. 10,27(cm)

W ten sposób wiemy ile wynosi x, jednak pytanie było o całą część wspólną czyli 2x

2x=20,54(cm)

2. Teraz odniesiemy się do 2. części zadania czyli długości obwodu części wspólnej. Skorzystam ze wzoru na długość łuku okręgu, na którym wspiera się kąt środkowy

L=(alfa-stopni*Pi*r)/180-stopni

L=(90-stopni*Pi*r)/180-stopni=(Pi*r)/2=3*Pi=ok. 9,42(cm)

Otrzymaliśmy długość jednego łuku. Należy teraz pomnożyć to.

2L=9,84

Odp. Pole części wspólnej kół o środkach w punktach B i D i o promieniu 6 cm wynosi 18p - 36 cm2 (około 20,54 cm2 ), natomiast długość obwodu 6p (około 9,84cm).

Opracował: Oskar Filipowicz | Toruń 9 lutego 2008r.