LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2007/2008
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU I
DLA KLAS II GIMNAZJUM

Zadanie 6.

Czy istnieją dwie kolejne liczby naturalne takie, że suma cyfr każdej z nich jest podzielna przez 7? Czy istnieje tylko jedna taka para, jeśli istnieje.

Rozwiązanie

Zauważmy, że jeśli cyfra jedności pewnej liczby naturalnej a nie jest dziewiątka, to po zwiększeniu liczby a o 1 suma cyfr też zwiększy się o 1 więc taka liczba nie ma szans spełniać warunków zadania (bo nie ma dwóch lczb różniących się o 1 i podzielnych rzez 7.)

Zatem szukana liczba musi kończyć się cyfrą 9 lub nawet serią cyfr równych 9. W związku z tym przyjmijmy pewne oznaczenia.

Przyjmijmy oznaczenia: Przykład dla a = 2987999
S(a) - suma cyfr liczby a S(2987999) = 2 + 9 + 8 + 7 + 9 + 9 + 9 = 53
a - liczba utworzona z początkowych cyfr do przedostaniej cyfry przed serią dziewiątek po prawej stronie zapisu dziesiętnego x = 298
y - ostatnie cyfra różna od 9 przed serią samych dziewiątek po prawej stronie zapisu dziesiętnego liczby jeśli liczba kończy się choć jedną dziewiątką y = 7
n - liczba dziewiątek na końcu liczby n = 3

a - mniejsza liczba

Dwie kolejne liczby naturalne można przedstawić w zapisie dziesiętnym jako:

a = xy99...99
a + 1 = x(y+1)00...00.

A sumy ich cyfr:

S(a) = S(x) + y + 9n,
S(a + 1) = S(x)+ y + 1

Jeżeli dwie liczby dzielą się przez 7, to ich różnica też, a więc

S(a) - S(a+1) = S(x) + y + 9n - S(x) - y - 1 = 9n - 1 dzieli się przez 7


Liczba n daje pewną resztę r z dzielenia przez 7, więc można ją zapisać w postaci:

n = 7q + r

gdzie q należy do zbioru liczb naturalnych,
r należy należy do zboioru reszt {0,1,2,3,4,5,6}. Więc:

9n - 1 = 9*(7q + r) - 1 = 9*7*q + 9r - 1 musi dzielić się przez 7.

Ponieważ 7 dzieli 7q*9, więc 9r-1 musi być podzielne przez 7.

Sprawdźmy po kolei wartości 9r-1 dla wszystkich możliwych reszt r:

r=0, 9r-1=9*0-1=-1

r=1, 9r-1=9*1-1=8

r=2, 9r-1=9*2-1=17

r=3, 9r-1=9*3-1=26

r=4, 9r-1=9*4-1=35  ten wynik jest dobry bo 7 dzieli 35

r=5, 9r-1=9*5-1=34

r=6, 9r-1=9*6-1=53
Tylko w przypadku r = 4 wynik 9r-1 dzieli się przez 7, czyli w najmniejszej z liczb są 4 dziewiątki.
Najmniejsza liczba a musi być więc postaci

a = py9999

Wtedy

a + 1= p(y+1)0000

Sumy ich cyfr rożnią się o 4*9 - 1 = 35 = 5*7. Jednak sama liczba a musi mieć sumę cyfr podzielną przez 7, więc

S(a) = S(x) + y + 36 = S(x) + y + 1 + 2*7 dzieli się przez 7.

Najmniejszą taką liczbe dostaniemy, gdy cyfra x będzie jak największa a liczba y jak najmniejsza. Ale liczby te muszą spełniać własność x+(y+1) dzieli się przez 7.

Więc


x = 1 , y = 5.

a = 159999

a + 1 = 160000


x = 2 y = 4

a = 249999

a + 1 = 250000


x = 3 , y = 3.

a = 339999

a + 1 = 330000


Odpowiedź

Tak istnieją, jest ich wiecej niż jedna para, a najmnisze takie to 159999 i 160000.

Opracował : Patryk Dziemianowski