Zadania przygotowawcze
do etapu I-go dla uczniów klas II gimnazjum

Która z liczb,$\sqrt{\frac{2005}{2006}}$ czy $\sqrt{\frac{2006}{2007}}$, jest większa?

Ustaw w porządku rosnącym liczby: $2^{160}, 3^{100}, 5^{60}, 8^{50}, 16^{36}.$

Oblicz $\frac{2^{19}\cdot 27^{3}+15\cdot 5^{9}\cdot 4^{9}\cdot 9^{4}}{6^{9}\cdot 2^{10}+12^{10}}.$

Oblicz $\frac{666666\cdot666666}{1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1}-\frac{777777\cdot 777777}{1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1}.$

Czy istnieją dwie kolejne liczby naturalne takie, że suma cyfr każdej z nich jest podzielna przez 7? Czy istnieje tylko jedna taka para, jeśli istnieje?

Oblicz

1. $\sqrt{\frac{3-2\cdot \sqrt{2}}{17-12\cdot \sqrt{2}}}-\sqrt{\frac{3+2\cdot \sqrt{2}}{17+12\cdot \sqrt{2}}}.$
2. $\frac{\sqrt[4]{7\cdot \sqrt[3]{54}+15\cdot \sqrt[3]{128}}}{\sqrt[3]{4\cdot \sqrt[4]{32}}+\sqrt[3]{9\cdot \sqrt[4]{162}}}.$
3. $\frac{5\cdot 4^{45}\cdot 9^{9}-4\cdot 3^{20}\cdot 8^{9}}{5\cdot 2^{9}\cdot 6^{19}-7\cdot 2^{29}\cdot 27^{6}}.$

Dana jest liczba całkowita $a.$ Uzasadnij, że co najmniej jedna z liczb $a^3 - a$ lub $a^3 + a$ jest podzielna przez 10.

Opisz zapis dziesiętny liczby $a\cdot b$ (z jakich i z ilu cyfr oraz w jakiej kolejności), jeśli zapis dziesiętny liczby $a$ składa się tylko ze 100 szóstek, a zapis dziesiętny liczby $b$ składa się ze 100 trójek.

Uzasadnić, że $5^n+5^{n+1}+5^{n+2}$ jes liczbą podzielną przez 155 dla każdej liczby całkowitej dodatniej $n.$

Wyznacz wszystkie liczby naturalne siedmiocyfrowe podzielne przez 3 i przez 4, w zapisie których występują tylko cyfry 2 i 3, przy czym dwójek jest więcej niż  trójek.

Wyznacz wszystkie trójki liczb pierwszych takie, że iloczyn każdych dwóch z nich przy dzieleniu przez trzecią daje resztę 1.

Dziadek i babcia mają razem 140 lat. Po ile lat ma każde z nich, jeżeli dziadek ma dwa razy tyle lat ile babcia miała wtedy, gdy dziadek miał tyle lat, ile lat babcia ma teraz?

Podaj przykład trzech liczb wymiernych, których zarówno suma jak i suma ich odwrotności są liczbami całkowitymi.

Wyznaczyć wszystkie liczby pierwsze trzycyfrowe o różnych cyfrach, w których cyfra jedności jest równa sumie cyfr dziesiątek i setek.

Wyznaczyć liczby pierwsze $p$, dla których liczba $2^p + 1$ jest podzielna przez 9.

Wyznacz wartości sum:

1. $\frac{666666\cdot666666}{1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1}-\frac{777777\cdot 777777}{1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1}.$
2. $6+66+666+\text{...}+\underbrace{666\text{...}6}_{\text{2006 cyfr}},$
3. $\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\text{...}+\frac{1}{\sqrt{2024}+\sqrt{2025}},$

Czy zachodzą równości?

1. $\sqrt[6]{9+4\cdot\sqrt{5}}-\sqrt[6]{9-4\cdot\sqrt{5}}=1$
2. $\underbrace{88\text{...}8}_{19}\cdot \underbrace{33\text{...}3}_{2006}= \underbrace{44\text{...}4}_{19}\cdot \underbrace{66\text{...}6}_{2006}$

Od liczby trzycyfrowej odjęto sumę jej cyfr. Z otrzymaną różnicą powtórzono tę operację, i tak dalej. Czynność tę powtórzono 100 razy. Udowodnić, że otrzymano 0.