LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU ZADANIA W ROKU SZKOLNYM 2007/2008

Zadania przygotowawcze do etapu I-go dla uczniów klas II gimnazjum

Tematyka: 1. Działania na potęgach i pierwiastkach. 2. Liczby rzeczywiste i działania na nich.

Zadanie 1

Która z liczb, czy , jest większa ?

Rozwiązanie Pawła Abramowicza

Zadanie 2

Ustaw w porządku rosnącym liczby: 2160, 3100, 560, 850, 1636.

Rozwiązanie Kasi Błażejewskiej

Zadanie 3

Oblicz: .

Rozwiązanie Szymona Borkowskiego

Zadanie 4

Oblicz: .

Rozwiązanie Krzysztofa Chrzanowskiego

Zadanie 5

Oblicz: .

Rozwiązanie Agnieszki Dubilewicz

Zadanie 6

Czy istnieją dwie kolejne liczby naturalne takie, że suma cyfr każdej z nich jest podzielna przez 7? Czy istnieje tylko jedna taka para, jeśli istnieje?

Rozwiązanie Patryka Dziemianowskiego

Zadanie 7

Oblicz: , , .

Rozwiązanie 7a Oskara Filipowicza

Zadanie 8

Dana jest liczba całkowita a. Uzasadnij, że co najmniej jedna z liczb a3 - a lub a3 + a jest podzielna przez 10.

Rozwiązanie Joasi Jędrzejewskiej

Zadanie 9

Opisz zapis dziesiętny liczby a×b (z jakich i z ilu cyfr się składa oraz w jakiej kolejności), jeśli zapis dziesiętny liczby a składa się tylko ze 100 szóstek, a zapis dziesiętny liczby b składa się ze 100 dwójek.

Rozwiązanie Kingi Kępczyńskiej

Zadanie 10

Uzasadnić, że  5n + 5n+1 + 5n+2  jest liczbą podzielną przez 155 dla każdej liczby całkowitej dodatniej n.

Rozwiązanie Sandry Kisielewskiej

Zadanie 11

Wyznacz wszystkie liczby naturalne siedmiocyfrowe podzielne przez 3 i przez 4, w zapisie których występują tylko cyfry 2 i 3, przy czym dwójek jest więcej niż trójek.

Rozwiązanie Janka Kozakiewicza

Zadanie 12

Wyznacz wszystkie trójki liczb pierwszych takie, że iloczyn każdych dwóch z nich przy dzieleniu przez trzecią daje resztę 1.

Rozwiązanie Diany Kryczko

Zadanie 13

Dziadek i babcia mają razem 140 lat. Po ile lat ma każde z nich, jeżeli dziadek ma dwa razy tyle lat ile babcia miała wtedy, gdy dziadek miał tyle lat, ile lat babcia ma teraz?

Rozwiązanie Jakuba Kurowskiego

Zadanie 14

Podaj przykład trzech liczb wymiernych, których zarówno suma jak i suma ich odwrotności są liczbami całkowitymi.

Rozwiązanie Łukasza Kusińskiego

Zadanie 15

Wyznaczyć wszystkie liczby pierwsze trzycyfrowe o różnych cyfrach, w których cyfra jedności jest równa sumie cyfr dziesiątek i setek.

Rozwiązanie Przemka Kwapisza

Zadanie 16

Wyznaczyć  liczby pierwsze p, dla których liczba 2p + 1 jest podzielna przez 9.

Rozwiązanie Alana Mamrzyńskiego

Zadanie 17

Wyznacz wartości sum:

Rozwiązanie Jakuba Misiaszka

Zadanie 18

Czy zachodzą równości?

Rozwiązanie Rafała Mossakowskiego

Zadanie 19

Od liczby trzycyfrowej odjęto sumę jej cyfr. Z otrzymaną różnicą powtórzono tę operację, i tak dalej. Czynność tę powtórzono 100 razy. Udowodnić, że otrzymano 0.

Uwaga. W przygotowaniach do 1 spotkania konkursowego można wykorzystać zbiór zadań "Liga Zadaniowa" - strony 25, 26, 32, 33 oraz 9-19.