LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2007/2008
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU I
DLA KLAS II GIMNAZJUM

Zadanie 11

Wyznacz wszystkie liczby 7-cyfrowe podzielne przez 3 i przez 4, w zapisie których występują tylko cyfry 2 i 3, przy czym dwójek jest więcej niż trójek.

Rozwiązanie

• Przez 3:   Suma cyfr musi by podzielna przez 3
• Przez 4:   Ostatnie dwie cyfry danej liczby muszą tworzyć liczbę podzielną przez 4.

Szukaną liczbę w zapisie dziesiętnym oznaczę jako: a b c d e f g Ostatnie dwie cyfry g i f to kolejno cyfry 3 i 2, ponieważ tylko one spełniaja warunki zadania (podzielnośc przez 4).

Teraz liczba wygląda tak: a b c d e 3 2.

I teraz będę zjmował się tylko cyframi a b c d e.

3 + 2 = 5 (brakuje 1 do liczby podz. przez 3).
Dlatego a + b + c + d + e = k + 1 (k to liczba podzielna. przez 3).

Wiem jeszcze z treści zadania, iż w tej liczbie jest więcej dwójek niż trójek. Czyli wśród cyfr a b c d e muszą być przynajmniej trzy dwójki.

Są trzy możliwosci dobrania cyfr 2 i 3 w pierwszych pięciu cyfrach szukanej liczby:

I

Trzy dwójki i dwie trójki np.: 2 2 2 3 3 3 2 ale taka liczba nie spełnia warunków zad.-nie jest podzielna przez 3(suma cyfr to 17)

II

Cztery dwójki i jedna trójka np.: 2 2 2 2 3 3 2 ale ta liczba również nie dzieli się przez 3(suma cyfr to 16)

III

Pięc dwójek 2 2 2 2 2 3 2    Jest to jedyn liczba spełniająca wszystkie warunki tego zadania.

Odp.: Szukana liczba to 2 222 232

Opracował: Jan Kozakiewicz