LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2007/2008
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU I
DLA KLAS II GIMNAZJUM

Zadanie 12

Wyznacz wszystkie trójki liczb pierwszych takie, że iloczyn każdych dwóch z nich przy dzieleniu przez trzecią daje resztę 1.

Rozwiązanie:

Będziemy posługiwać się trzema liczbami a, b i c. Pierwszą bardzo ważaną rzeczą, którą trzeba zauważyć jest fakt, że

teraz przedstawmy za pomocą symboli jak będą wygladać i jakie warunki muszą spełniać nasze liczby i ich iloczyny:

Iloczyn liczb naturalnych jest liczbą naturalną, więc:

stąd

Możemy przyjąć, że: wtedy

stąd

Wiedząc, że liczymy, że: , ponieważ czyli

teraz musimy sprawdzić czy nasze założenia liczbowe będą się sprawdzać oraz w jakich kombinacjach. Zacznijmy od a:

a=2

teraz dołóżmy do tego b=3

a=2, b=3

Zgadza się. Dla pewności wykonajmy sprawdzenie:

Spróbujmy utworzyć inną kombinację: a=2, b=5, a jeśli a=2 i b=5 to c>=7

czyli nie zgadza się to z naszym wcześniejszym twierdzeniem.

W takim wypadku spróbujmy zmienić liczbę a:

a=3, b>=5, c>=7

ta kombinacja również nie zgadza się z naszymi spostrzeżeniami, dlatego możemy wyciągnąć następujące wnioski:

Jeśli a>=3 to b>=5 i c>=7 to , więc niemożliwe jest, że

Zatem a musi równać się 2

jeśli a=2 i b>=5 to

zatem a=2 i b=3 stąd c=5

Odpowiedź: Jedyna trójka takich iczb to 2, 3, 5.

Autor: Diana Kryczko