LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2007/2008
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU I
DLA KLAS II GIMNAZJUM
ZADANIE 9
Opisz zapis dziesiętny liczby a×b (z jakich i z ilu cyfr się składa
oraz w jakiej kolejności), jeśli zapis dziesiętny liczby a składa się tylko
ze 100 szóstek, a zapis dziesiętny liczby b składa się ze 100 dwójek.
ROZWIĄZANIE
DANE:
a="666...6*"
b="222...2*
SZUKANE:
a×b="?
Liczby a i b możemy zapisać w następującej postaci:
a="666...6*=6(111...1*)"
b="222...2*=2(111...1*)"
Wyraźmy liczbę 111...1* za pomocą ułamka. Zauważmy, że takie liczby jak 9;99;999;...;999...9*
możemy przedstawić w następujący sposób:
liczba 111...1* zapisana za pomocą ułamka (zapisana poniżej)
Zatem, liczby a i b przyjmują postać:
_________________________________________________________________________________
Przejdźmy teraz do obliczenia iloczynu liczb a i b
Policzmy teraz licznik powyższego ułamka
gdzie:
10...01 to jedynka, 199 zer i jedynka
20...0 to dwójka i 100 zer
W postaci pisemnej wygląda to następująco:
Dzięki obliczeniom możemy stwierdzić, że w wyniku mieści się 99 dziewiątek oraz 99 zer. Pozostałe 3 cyfry to 3,2,4.
Teraz musimy tylko otrzymany wynik podzielić przez 27.
399...9200...04 : 27 = 148148148...1481185185...1852
_________________________________________________________________________________
* oznacza liczbę ze 100 cyframi
ODPOWIEDŹ
a×b= 148148...1481185185...1852
gdzie liczba 148 powtarza się 33 razy
oraz liczba 185 powtarza się 33 razy.
Kinga Kępczyńska