LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2007/2008
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU II
DLA KLAS II GIMNAZJUM

Zadanie 7.

Długość boku kwadratu ABCD jest równa 6 cm.
Oblicz pole i długość obwodu części wspólnej kół o środkach w punktach B i D, i o promieniu 6 cm.

Rozwiązanie.

Rysunek pomocniczy:

Rysunek nie został załadowany. NIe martw się - to tylko rysunek pomocniczy

1. Aby obliczyć pole części wspólnej (2x) postanowiłem skorzystać ze wzoru na pole wycinka koła o kącie środkowym α°.

S=((90-stopni)/360-stopni)*Pi*r^2=(1/4)*Pi*r^2=9*Pi(cm)

Wynik, który otrzymaliśmy jest to pole trójkąta ACD i x.
Aby otrzymać samo x musimy najpierw wyliczyć pole trójkąta i odjąć je od w/w wyniku.

Pole trójkąta = (r^2/2)=18(cm)

x=9*Pi-18 =ok. 10,27(cm)

W ten sposób wiemy ile wynosi x, jednak pytanie było o całą część wspólną czyli 2x

2x=20,54(cm)

2. Teraz odniesiemy się do 2. częci zadania czyli długości obwodu częci wspólnej. Skorzystam ze wzoru na długość łuku okręgu, na którym wspiera się kąt środkowy kat.gif

L=(alfa-stopni*Pi*r)/180-stopni

L=(90-stopni*Pi*r)/180-stopni=(Pi*r)/2=3*Pi=ok. 9,42(cm)

Otrzymaliśmy długość jednego łuku. Należy teraz pomnożyć to.

2L=9,84

Odp. Pole części wspólnej kół o srodkach w punktach B i D i o promieniu 6 cm wynosi 18π - 36 cm2 (około 20,54 cm2), natomiast długość obwodu 6π (około 9,84cm).

Opracował: Oskar Filipowicz | Toruń 9 lutego 2008 r.