LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2006/2007
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU I
DLA KLAS I GIMNAZJUM

Zadanie 11

Wyznaczyć wszystkie liczby pięciocyfrowe mające zapis dziesiętny abcde, które są podzielne przez 36 i dla których a<b<c<d<e.

Rozwiązanie

Końcówka liczby de należy do zbioru {48, 56, 68}
    Dlaczego 48, 56 i 68 ?
  1. Bo d ł 4
    gdyż d > c > b > a ł 1, a więc najmniejsze a to 1, najmniejsze b to 2, najmniejsze c to 3, najmniejsze d to 4.
  2. Ponieważ d<e (d ma być mniejsze od e np.: 4<8)
  3. Ponieważ de musi być podzielne przez 4 (dlatego, że abcde ma być podzielne przez 36 - więc również przez 4)

Przypadek I

a b c 4 8
a b c d e

Wśród liczb naturalnych a, b, c , gdzie a<b<c<4, jest tylko jedna trójka 123. Liczba 12348 spełnia wymogi zadania bo suma jej cyfr wynosi 18, więc jest podzielna przez 9.
Liczba 12348 dzieli się przez 4 i 9 więc dzieli się przez 36.

Przypadek II

1 2 4 5 6
a b c d e

Na miejsce de podstawiłem kolejną z kolei liczbę - 56 (patrz zbiór de pod napisem rozwiązanie). Natomiast abc znalazłem dopasowując cyfry tak by ich suma była podzielna przez 9.

6 = 1 + 2 + 3 Ł a + b + c Ł 2 + 3 + 4 = 9
a + b + c Î {6, 7, 8, 9}
c + d = 5 + 6 = 11
Tylko 11 + 7 = 18 dzieli się przez 9.
a + b + c = 7

Jest jedna taka możliwość (wśród liczb naturalnych)

abc = 124

Więc kolejną liczbą, która spełnia wymogi zadania jest 12456.

Przypadek III

a b c 6 8
a b c d e

Podobnie jak poprzednio próbowałem dopasować cyfry a, b, c tak aby suma wszystkich cyfr była podzielna przez 9. Tym razem się nie udało, gdyż:

6 = 1 + 2 + 3 Ł a + b + c Ł 3 + 4 + 5 = 12
a + b + c Î {6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
c + d = 6 + 8 = 14
a + b + c + d + e Î = { 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26}.

Żadna z sum 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26 nie dzieli się przez 9, więc nie ma rozwiązania z końcówką 68.

Odpowiedź: Są dwie takie liczby: 12348 i 12456.

Opracował Jan Kozakiewicz