Liga Zadaniowa

LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2006/2007
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU I
DLA KLAS I GIMNAZJUM

Zadanie 23

Reszta z dzielenia liczby pierwszej przez 21 jest liczbą złożoną. Jakie liczby mogą być takimi resztami?

Rozwiązanie:

Reszty z dzielenia przez 21 są natępujące:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20

Liczba złożona jest to liczba naturalna różna od 0 i 1 i mająca więcej niż dwa dzielniki.

Wśród podanych reszt występują następujące liczby złożone:

4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20

Niech p oznacza liczbę pierwszą. Liczba p nie może dawać z dzielenie przez 21 reszty 6, 9, 12, 18 (reszty podzielne przez 3) ani 14 (podzielna przez 7), bo dla dowolnej liczby całkowitej n mamy:

21n + 6 = 3×(7n + 2)

21n + 9 = 3×(7n + 3)

21n + 12 = 3×(7n + 4)

21n + 18 = 3×(7n + 6)

21n + 14 = 2×(7n + 7)

Pozostają więc nastpujące reszty spełniające warunki zadania:

4, 8, 10, 16, 20,

np.

resztę 4 z dzielenia przez 21 daje liczba pierwsza 67 (67 = 21×3 + 4)
resztę 8 z dzielenia przez 21 daje liczba pierwsza 29 (29 = 21×1 + 8)
resztę 10 z dzielenia przez 21 daje liczba pierwsza 31 (31 = 21×1 + 10)
resztę 16 z dzielenia przez 21 daje liczba pierwsza 37 (37 = 21×1 + 16)
resztę 20 z dzielenia przez 21 daje liczba pierwsza 41 (41 = 21×1 + 20)

ODPOWIEDŹ:

Takimi resztami mogą być liczby: 4, 8, 10, 16, 20.

OPRACOWAŁ FILIP SOLARCZYK