LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2006/2007
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU I
DLA KLAS I GIMNAZJUM

Zadanie 24
Czy można liczby naturalne od 32 do 86 włącznie wypisać w pewnej kolejności tak, by otrzymany zapis był zapisem liczby pierwszej?

Rozwiązanie

Muszę sprawdzić czy otrzymana liczba jest liczbą pierwszą lub złożoną.

 liczba x - liczba, która powstanie z tych liczb

Podzielność przez 2:

Nie mogę określić jaka jest ostatnia cyfra tej liczby

Podzielność przez 3

Bez względy na kolejność ustawienia liczb, suma cyfr zawsze będzie taka sama.

Suma cyfr = 3+2+3+3+3+4+3+5+3+6+3+7+3+8+3+9=68
4+0+4+1+4+2+4+3+4+4+4+5+4+6+4+7+4+8+4+9=85
5+0+5+1+5+2+5+3+5+4+5+5+5+6+5+7+5+8+5+9=94
6+0+6+1+6+2+6+3+6+4+6+5+6+6+6+7+6+8+6+9=103
7+0+7+1+7+2+7+3+7+4+7+5+7+6+7+7+7+8+7+9=112
8+0+8+1+8+2+8+3+8+4+8+5+8+6=77
68+85+94+103+112+77=539

3 nie dzieli 539

x nie jest podzielne przez 3

Podzielność przez 4

Nie znamy dwóch ostatnich cyfr

Podzielność przez 5

Nie znamy ostatniej cyfry

Podzielność przez 6

Nie wiemy czy liczba dzieli się przez 2

Podzielność przez 9

539 : 9=59,(8)
9 nie dzieli 539

x nie jest podzielne przez 9

Podzielność przez 11

Liczba dzieli się przez 11 gdy suma liczb dwucyfrowych (i ewentualnie jednocyfrowej) powstałych z podziału ciągu cyfr zapisu dziesiętnego tej liczby na pakiety dwucyfrowe od prawej strony jest podzielna przez 11.

Bez względu na ustawienie kolejność cyfr w zapisie dziesiętnym liczby x, suma liczb dwucyfrowych z jej zapisu będzie zawsze taka sama i będzie się równać S:

S = 32 + 33 + 34 + ... + 86
S = 86 + 85 + 84 + ... + 32
2S = 120 + 120 + 120 + ... + 120 = 55×120
S = 55 × 60 dzieli się przez 11

Odpowiedź
Ta liczba nie może być zapisem liczby pierwszej, gdyż będzie dzieliła się przez 11.

opracował: Jakub Szmigiel kl. I "a""