LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2007/2008
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU I
DLA KLAS VI SZKOŁY PODSTAWOWEJ

Zadanie 14

Pewna liczba całkowita przy dzieleniu przez 3 daje resztę 1, zaś przy dzieleniu przez 4 daje resztę 3, a przy dzieleniu przez 5 resztę 3. Jaką resztę daje ta liczba przy dzieleniu przez 60?

Rozwiązanie:

x - "pewna liczba całkowita, która spełnia warunki zadania"

z - wynik bez reszty z dzielenia x przez 3

ź - wynik bez reszty z dzielenia x przez 4

ż - wynik bez reszty z dzielenia x przez 5

n - wynik bez reszty z dzielenia x przez 60

x = 3z + 1

x = 4ź + 3

x = 5ż + 3

x = 60n + r, gdzie r Î {0, 1, 2, 3, ..., 59}

1. 60n + r = 5ż + 3 =
   r = 5ż - 60n + 3
   r = 5(ż - 12) + 3,
   więc r daje resztę 3 z dzielenia przez 5.

   Stąd r Î {3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, 43,48, 53, 58}

2. 60n + r = 4ź + 3 =
   r = 4ź - 60n + 3
   r = 4(ź - 15) + 3,
   więc r daje resztę 3 z dzielenia przez 4.

   Stąd r Î {3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, 43,48, 53, 58}

   Stąd r Î {3, 23, 43}

3. 60n + r = 3z + 1 =
   r = 3z - 60n + 1
   r = 3(z - 20) + 1,
   więc r daje resztę 1 z dzielenia przez 3

   Stąd r Î {3, 23, 43}

   Stąd r = 43.

Odpowiedź:

Agata Wijaczka