LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2006/2007
ZADANIA KONKURSOWE Z ETAPU I
DLA KLAS I GIMNAZJUM

Zadanie 6

Czy liczba 6 6 6 . . . 6, w której cyfra 6 powtarza się 2006 razy jest kwadratem liczby naturalnej?

Rozwiązanie

Liczba jest pełnym kwadratem tylko wtedy gdy w rozkładzie na czynniki pierwsze tej liczby każdy czynnik pierwszy występuje parzystą liczbę razy.

Suma cyfr liczby 6 6 6 ... 6 wynosi:

2006 * 6 = 12036

Z cech podzielności przez 3 i 9 wynika stąd, że liczba 666...6 dzieli się przez 3 ale nie dzieli się przez 9, więc ma w rozkładzie na czynniki pierwsze jedną 3-kę.

Odp.: Liczba 6 6 6 . . . 6, w której 6 powtarza się 2006 razy nie jest kwadratem liczby naturalnej

Aleksander Wojnowski