LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2007/2008
ZADANIA KONKURSOWE Z ETAPU I
DLA KLAS II GIMNAZJUM
Podaj co najmniej 10 liczb ośmiocyfrowych podzielnych przez 12 w zapisie których występują tylko cyfry 3 i 4. Ile jest wszystkich takich liczb?
A- szukana liczba
A = __ __ __ __ __ __ __ __
Skoro ta liczba A dzieli się przez 12 to muszą być spełnione 2 warunki:
3|A i 4|A.
Żeby 4|A, to dwie ostatnie cyfry liczby A muszą tworzyć liczbę podzielną przez 4.
Skoro mamy do dyspozycji tylko liczby 3 i 4 to tylko 44 pasuje.
A = __ __ __ __ __ __ 4 4
Żeby 3|A to suma cyfr tej liczby musi być podzielna przez 3.
Oznaczamy sumę cyfr bez dwóch ostatnich jako Y.Wtedy suma cyfr liczby A jest równa Y + 8.
Y + 8 musi dzielić się przez 3 więc, Y musi dawać resztę 1 z dzielenia przez 3.
| Y jest sumą 0 trójek i 6 czwórek | Y = 24 i daje resztę 0 z dzielenia przez 3. | Niedobrze. |
| Y jest sumą 1 trójki i 5 czwórek | Y = 23 i daje resztę 2 z dzielenia przez 3. | Niedobrze. |
| Y jest sumą 2 trójek i 4 czwórek | Y = 22 i daje resztę 1 z dzielenia przez 3. | Dobrze. |
| Y jest sumą 3 trójek i 3 czwórek | Y = 21 i daje resztę 0 z dzielenia przez 3. | Niedobrze. |
| Y jest sumą 4 trójek i 2 czwórek | Y = 20 i daje resztę 2 z dzielenia przez 3. | Nieobrze. |
| Y jest sumą 5 trójek i 1 czwórki | Y = 19 i daje resztę 1 z dzielenia przez 3. | Dobrze. |
| Y jest sumą 6 trójek i 0 czwórek | Y = 18 i daje resztę 0 z dzielenia przez 3. | Niedobrze. |
Ostatecznie wiemy,że taka liczba składa się z końcówki 44
albo z 2 trójek i 4 czwórek na początku - tych możliwości jest , bo trójki mogą stac
albo z 5 trójek i 1 czwórki na początku - tych mozliwości jest 6, bo czwórka może się przesówać od miejsca pierwszego do szóstego:
Odp: Wszystkich takich liczb jest 21
Aleksander Wojnowski