LIGA ZADANIOWA

LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2007/2008
ZADANIA KONKURSOWE Z ETAPU I
DLA KLAS II GIMNAZJUM

ZADANIE 3

Podaj co najmniej 10 liczb ośmiocyfrowych podzielnych przez 12 w zapisie których występują tylko cyfry 3 i 4. Ile jest wszystkich takich liczb?

Rozwiązanie:

A- szukana liczba

A = __ __ __ __ __ __ __ __

Skoro ta liczba A dzieli się przez 12 to muszą być spełnione 2 warunki: 3|A i 4|A.
Żeby 4|A, to dwie ostatnie cyfry liczby A muszą tworzyć liczbę podzielną przez 4.
Skoro mamy do dyspozycji tylko liczby 3 i 4 to tylko 44 pasuje.

A = __ __ __ __ __ __ 4 4

Żeby 3|A to suma cyfr tej liczby musi być podzielna przez 3.
Oznaczamy sumę cyfr bez dwóch ostatnich jako Y.

Wtedy suma cyfr liczby A jest równa Y + 8.
Y + 8 musi dzielić się przez 3 więc, Y musi dawać resztę 1 z dzielenia przez 3.

Rozważmy różne mozliwości:

Y jest sumą 0 trójek i 6 czwórek Y = 24 i daje resztę 0 z dzielenia przez 3. Niedobrze.

Y jest sumą 1 trójki i 5 czwórek Y = 23 i daje resztę 2 z dzielenia przez 3. Niedobrze.

Y jest sumą 2 trójek i 4 czwórek Y = 22 i daje resztę 1 z dzielenia przez 3. Dobrze.

Y jest sumą 3 trójek i 3 czwórek Y = 21 i daje resztę 0 z dzielenia przez 3. Niedobrze.

Y jest sumą 4 trójek i 2 czwórek Y = 20 i daje resztę 2 z dzielenia przez 3. Nieobrze.

Y jest sumą 5 trójek i 1 czwórki Y = 19 i daje resztę 1 z dzielenia przez 3. Dobrze.

Y jest sumą 6 trójek i 0 czwórek Y = 18 i daje resztę 0 z dzielenia przez 3. Niedobrze.

Ostatecznie wiemy,że taka liczba składa się z końcówki 44

albo z 2 trójek i 4 czwórek na początku - tych możliwości jest , bo trójki mogą stac
1. na miejscach {1,2}: 33444444
2. na miejscach {1,3}: 34344444
3. na miejscach {1,4}: 34434444
4. na miejscach {1,5}: 34443444
5. na miejscach {1,6}: 34444344
6. na miejscach {2,3}: 43344444
7. na miejscach {2,4}: 43434444
8. na miejscach {2,5}: 43443444
9. na miejscach {2,6}: 43444344
10. na miejscach {3,4}: 44334444
11. na miejscach {3,5}: 44343444
12. na miejscach {3,6}: 44344344
13. na miejscach {4,5}: 44433444
14. na miejscach {4,6}: 44434344
15. na miejscach {5,6}: 44443344
albo z 5 trójek i 1 czwórki na początku - tych mozliwości jest 6, bo czwórka może się przesówać od miejsca pierwszego do szóstego:
1. 43333344
2. 34333344
3. 33433344
4. 33343344
5. 33334344
6. 33333444

Odp: Wszystkich takich liczb jest 21

Aleksander Wojnowski

Y jest sumą 0 trójek i 6 czwórek	Y = 24 i daje resztę 0 z dzielenia przez 3.	Niedobrze.
Y jest sumą 1 trójki i 5 czwórek	Y = 23 i daje resztę 2 z dzielenia przez 3.	Niedobrze.
Y jest sumą 2 trójek i 4 czwórek	Y = 22 i daje resztę 1 z dzielenia przez 3.	Dobrze.
Y jest sumą 3 trójek i 3 czwórek	Y = 21 i daje resztę 0 z dzielenia przez 3.	Niedobrze.
Y jest sumą 4 trójek i 2 czwórek	Y = 20 i daje resztę 2 z dzielenia przez 3.	Nieobrze.
Y jest sumą 5 trójek i 1 czwórki	Y = 19 i daje resztę 1 z dzielenia przez 3.	Dobrze.
Y jest sumą 6 trójek i 0 czwórek	Y = 18 i daje resztę 0 z dzielenia przez 3.	Niedobrze.