LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2008/2009
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU II
DLA KLAS II GIMNAZJUM
Zadanie 1
Oblicz pole i obwód zakreskowanych półksiężyców (patrz rysunek obok), gdzie długość boku kwadratu wynosi 8 cm, zaś zewnętrzne łuki są półokręgami zbudowanymi na bokach kwadratu, a wewnętrzny łuk jest okręgiem opisanym na kwadracie.
Rozwiązanie:
Obliczam pole kwadratu:
Następnie obliczam łączne pole czterech półokręgów o promieniu równym 4 cm:
Obliczam długość przekątnej kwadratu:
Przękatna każdego kwadratu jest równa 
(przy czym a jest długością boku kwadratu):
Długość przekątnej kwadratu = 
cm
Obliczam długość promienia okręgu, który stanowi połowę przekątnej kwadratu na, którym jest opisany:
Długość promienia okręgu = 
cm
Obliczam pole okręgu:
Od pola okręgu odejmuję pole wpisanego w niego kwadratu:
Otrzymane pole jest polem czterech niezacieniowanych półksiężyców.
Pole czterech zacieniowaych półksiężyców jest równe różnicy pól czterech półokręgów o promieniu równym 4 cm i pola czterech niezacieniowanych półksiężyców:
Pole jednego zacieniowanego półksiężyca jest równe:
Pole zacieniowanego półksiężyca jest równe 16 cm
.
Obwód okręgu o promieniu cm jest równy:
Obwód półokręgu o promieniu 4 cm jest równy:
Obwód zakreskowanego półksiężyca jest równy sumie 
obwodu okręgu o promieniu cm i obwodu półokręgu o promieniu równym 4 cm.
Więc obwód zacieniowanego księżyca jest równy:
Odpowiedź:
Pole zacieniowanego jednego półksiężyca jest równe 16 cm, a obwód jest równy cm.
(Pole i obwód czterech zacieniowanych połksięzyców będą odpowiednio 4 razy wieksze. )
Tomek Bachanek