Zadanie 1
Oblicz pole i obwód zacieniowanych półksiężyców
na rysunku obok wiedząc, że długość boku kwadratu wynosi 8 cm,
zaś zewnętrzne łuki są półokręgami zbudowanymi na bokach kwadratu,
a wewnętrzny łuk jest okręgiem opisanym na kwadracie.
Zadanie 2
Czy liczba $3\cdot (1+\frac{2}{3})\cdot (1+\frac{2}{5})\cdot (1+\frac{2}{7})\cdot\text{...}\cdot (1+\frac{2}{2007})$
jest liczbą pierwszą?
Zadanie 3
Oblicz pole i obwód zacieniowanej figury.
Zadanie 4
Czy $4^{101} + 5^{2008}$ jest liczbą pierwszą?
Zadanie 5
Przekształć poniższe wyrażenie do najprostszej postaci.
$\left(\frac{a-b}{a+b}+\frac{a+b}{a-b}\right)\cdot \left(\frac{a^2+b^2}{2ab}+1\right)\cdot \frac{ab}{a^2+b^2}$
Następnie policz jego wartość dla $a=\frac{2}{5}\text{ i } b=0,375.$
Zadanie 6
Pewna liczba naturalna $n$ przy dzieleniu przez 2007 i 2008 daje tę samą resztę równa 1000.
Jaką resztę otrzymamy dzieląc tę liczbę przez 12?
Zadanie 7
Średnicę okręgu $AC$ podzielono na dwa odcinki $AB\text{ i }BC$ o długościach 12 cm i 4 cm.
Na odcinkach tych zbudowano półkola jak na rysunku.
Oblicz pole i obwód obszaru zamalowanego. Czy obwód tego obszaru jest większy od obwodu tego okręgu?
Zadanie 8
Udowodnij, że jeśli $n$ jest liczbą naturalną nieparzystą, to różnica jej czwartej potęgi i liczby 1
jest podzielna przez 16.
Zadanie 9
Przekształć poniższe wyrażenie do najprostszej postaci.
$\frac{2b-a}{2b+a}-\frac{8ab}{a^2-4b^2}+\frac{2b}{a-2b}$
Następnie policz jego wartość dla $a=\frac{1}{3}\text{ i } b=0,125.$
Zadanie 10
Czy $2^{18} + 5^{12}$ jest liczbą pierwszą?
Zadanie 11
Oblicz pole i obwód zamalowanej figury przedstawionej na rysunku,
gdzie długość boku kwadratu jest równa 10 cm,
a łuki są odpowiednio półokręgami.
Zadanie 12
Dany jest kwadrat o boku długości 4 cm.
Z każdego wierzchołka jako ze środka poprowadzono koło
o promieniu 4 cm. Wyznaczvpole figury będącej częścią wspólną tych kół.
Zadanie 13
Uzasadnij, że sześcian liczby naturalnej pomniejszony o tę liczbę jest podzielny przez 6.
Zadanie 14
Dane wyrażenie algebraiczne doprowadź do najprostszej postaci
- $\left[\left(a+\frac{ab}{a-b}\right)\cdot \left(\frac{ab}{a+b}-a\right)\right]:\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}$,
a następnie oblicz jego wartość dla $a = -\frac{4}{5} \text{ i } b = 0,6.$ - $\left(x+y-\frac{xy}{x+y}\right):\left(\frac{x}{x+y}-\frac{y}{y-x}+\frac{2xy}{x^2-y^2}\right)$
a następnie oblicz jego wartość dla $x = -\frac{4}{5} \text{ i } y = -0,4.$
Zadanie 15
Która z zaznaczonych na rysunku figur, $F_1\text{ czy }F_2$, ma większe pole, jeśli trójkąt $ABC$
jest prostokątny i równoramienny, a łuki $AC\text{ i }AB$ są półokręgami zaś łuk $BC$
jest ćwiartką okręgu o środku $A?$
Zadanie 16
W kwadracie $ABCD$ poprowadzono dwa okręgi o środkach w wierzchołkach $A\text{ i }B$ i promieniu równym bokowi kwadratu.
Okręgi te podzieliły kwadrat na cztery obszary. Oblicz pola i obwody tych obszarów,
jeśli długość boku kwadratu jest równa 5 cm.
Zadanie 17
W trapezie dane są długości podstaw 10 cm i 30 cm oraz długości przekątnych: 24 cm i 32 cm. Oblicz pole tego trapezu.
Zadanie 18
Brzeg
- trójkąta równobocznego
- kwadratu
Zadanie 19
Oblicz
- $(4+\sqrt{15})\cdot(\sqrt{10}-\sqrt{6})\cdot\sqrt{4-\sqrt{15}}$
- $\left(\frac{2}{\sqrt{3}-1}+\frac{3}{\sqrt{3}-2}+\frac{15}{3-\sqrt{3}}\right)\cdot(\sqrt{3}+5)^{-1}$
Zadanie 20
Doprowadź do najprostszej postaci wyrażenia:
- $\frac{1}{c(abc+a_c)}-\frac{1}{a+\frac{1}{b+\frac{1}{c}}}:\frac{1}{a+\frac{1}{b}},$
- $\frac{a^{-1}-b^{-1}}{a^{-3}+b^{-3}}:\frac{a^2b^2}{(a+b)^2-3ab}\cdot\left(\frac{a^2-b^2}{ab}\right)^{-1}.$
Zadanie 21
Wysokość opuszczona z wierzchołka kąta prostego w trójkącie prostokątnym
dzieli przeciwprostokątną na dwa odcinki długości 2 cm i 8 cm. Oblicz pole i obwód tego trójkąta.
Zadanie 22
W trójkącie podstawa ma długość 60 cm.
Wysokość opuszczona na tę podstawę ma długość 12 cm,
a środkowa poprowadzona do tej podstawy ma długość 13 cm.
Wyznacz długości pozostałych boków tego trójkąta.
Uwaga: Środkową w trójkącie nazywamy odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego do tego wierzchołka boku.
Uwaga: Środkową w trójkącie nazywamy odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego do tego wierzchołka boku.
Zadanie 23
Wyznacz kąty trójkąta prostokątnego $ABC$, jeśli $|BH|-|HA| = |AC|$, gdzie odcinek $CH$ jest wysokością
opuszczoną z wierzchołka kąta prostego $C.$