Zadanie 8

Udowodnij, że jeśli n jest liczba naturalną nieparzystą, to różnica jej czwartej potęgi i liczby 1 jest podzielna przez 16.

Rozwiązanie:

n⁴ - 1 = (n²)² - 1² = (n² + 1)(n² - 1²)= (n² + 1)(n² - 1²)= (n² + 1)(n - 1)(n + 1)

Ponieważ n jest liczba przystą to liczby n - 1, n + 1 oraz n² + 1 są parzyste.

Ponadto liczby n - 1 i n + 1 są kolejnymi liczbami parzystymi, więc jedna z nich musi dzielić się przez 4.

Stąd iloczyn tych liczb dzieli się przez 2 × 2 × 4 = 16.

Stąd 16|n⁴ - 1

Justyna Jaguszewska