LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2008/2009
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU II
DLA KLAS II GIMNAZJUM

ZADANIE 4:

4101 + 52008 jest liczbą pierwszą ???


Rozwiązanie :

1) Najpierw próbujemy to uprościć :


4101 + 52008 =

(2* 2)101 + 52008 =

(2101)2 + (51004)2

2) Teraz przekształcimy to używając wzorów skróconego mnożenia - - -

a2+ b2 + 2ab = (a + b) 2

- - - i teraz za a i b podstawiamy liczby

a = 2101 i b = 51004

- - - i widzimy, że mamy

a2 + b2

więc musimy jeszcze odjąć 2ab, aby uprościć do (a+b)2 no i utworzy nam się wzór:

(a+b)2 - 2ab

. . . no i teraz podstawiamy wartości :

(2101 + 51004)2 - 2 * 2101*51004

3) Ponownie upraszczamy, ale drugą część równania ...

(2101 + 51004)2 - 2102*51004 =

(2101 + 51004)2 - (251)2*(5502)2 =

(2101 + 51004)2 - (251*5502)2

4) Teraz musimy to przekształcić :

(2101 + 51004)2 - (251*5502)2 =

5) Następnie korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia:     a2 - b2 = (a + b) * (a - b), gdzie a = (2101 + 51004) i b = (251*5502)

[(2101 + 51004)-(251 * 5502)] * [(2101 + 51004) + (251 * 5502)]

6) Teraz wiemy, że liczba ta nie jest liczbą pierwszą !!!, bo jest iloczynem 2 liczb naturalnych większych od 1.

2101 + 51004 - 251 * 5502 = 2101 + 5502(5502 - 251) > 2101 + 5502 > 1

Maciej Cieszyński