LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2008/2009
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU II
DLA KLAS II GIMNAZJUM
Zadanie 23
Wyznacz kąty trójkąta prostokątnego ABC, jeśli |BH| - |HA| = |AC|, gdzie odcinek CH jest wysokością opuszczoną z wierzchołka kąta prostego C
Rozwiązanie
|BH| - |HA| = |AC| oznacza, że
|BH| = |HA| + |AC|
- Rysujemy trójkąt prostokątny
- Zazmaczamy punkt A', którego odległość do punktu H jest równa odległości punktu A do H ---> z tego wynika, ze trójkąt AA'C jest równoramienny
- Rysujemy odcinek |CA'|
1. Z założenia |AC|=|A'B| oraz |A'C|=|AC|, więc |A'C|=|A'B|, stąd ∠A'BC= ∠A'CB=a
2. ∠CA'B=180°-2a
3. ∠CA'H=180°-(180°-2a)=2a
4. Ponieważ trójkąt AA'C jest równoramienny, więc ∠CA'A=∠A'AC=2a
5. Ponieważ trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym, więc ∠CAB+∠CBA=2a+a=3a=90°, więc a=30, 2a=60
Odpowiedz:
Kąt przy wierzchołku A=60°, B=30°, C=90°.
Magdalena Tomaszewska