Brzeg trójkąta równobocznego boku długości 10 cm "otoczono" zbiorem punktów, z których każdy jest odległy od jednego z boków nie więcej niż 1 cm. Oblicz długość brzegu tego zbioru i pole tego zbioru.

      Rozwiązanie:

I. POLE

Widzimy, że pole zbioru od zewnętrznej strony trójkąta ABC składa się z 6 części: 3 prostokątów o wymiarach x=10 cm i y=1 cm,

oraz z trzech równych sobie wycinków koła, które tworzą jedno koło.

Więc pole zbioru od zewnętrznej strony trójkąta równa się:

P_Zew= 3*P_prostokąta + P_koła

P_Zew= 3*(1cm* 10cm) + *1cm²=

P_Zew= (30 +) cm²

Z kolei zbiór od wewnętrznej strony trójkąta ABC można podzielić na 3 trapezy:

trapez AJKB , trapez CLKB i na trapez CLJA.

Każdy z tych trapezów możemy podzielić na prostokąt i 2 równe sobie trójkąty prostokątne.

Wiadomo, że jeśli w trójkącie prostokątnym miary pozostałych 2 trójkątów są równe 30 i 60 stopni,

to długości boków wynoszą :

A skoro a=1 cm, to :

Więc wygląda to tak:

Pole tego trapezu równa się suma podstaw razy wysokość podzielić na dwa:

Więc pole zbioru od wewnętrznej strony trójkąta ABC równa się:

Więc pole całego zbioru(zewnętrznego i wewnętrznego) wynosi:

P_Całość=

II. OBWÓD

Długość linii brzegowej od zewnętrznej strony trójkąta ABC równa się:

3*10 + 2* *1 = 30 + 2

Teraz obliczymy długosć linii brzegowej od wewnętrznej strony trójkąta ABC:

Więc łączna długość linii brzegowej wynosi:

Ob_Całość= Ob_Zew + Ob_Wew