LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2008/2009
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU III
DLA KLAS II GIMNAZJUM

Zadanie 5

W czworokącie ABCDE dane są |ĐABC|=120°,|ĐDBC|=50°, |ĐACD|=70°. Wyznaczyć |ĐCAD| i |ĐADC|.

Rozwiązanie:

  1. Rysujemy czworokąt ABCD wraz z przekątnymi
  2. Zzaznaczamy kąty dane w zadaniu
  3. Lemat:

    Jeśli kąty ACD i ABD są tej samej miary to punkty A, B, C, D leżą na jednym okręgu

    Dowód

    Niech K będzie okręgiem opisanym na trójkącie ADC.

    Gdyby punkt B leżał na zewnątrz koła to kąt ABD byłby mniejszy od kąta ACD     a gdyby leżał wewnątrz koła to kąt ABD byłby większy od  ACD.
    Stąd jedyne miejsce gzdie może znajdować się punkt B to okrąg K.

  4. Korzystając z lematu wiemy, że wierzchołki czworokąta leżą na jednym okręgu więc dwa naprzemianległe kąty czworokąta mają w sumie miarę 180°, więc kąt |ADC|=60°
  5. Wiemy, że wszystkie kąty w trójkącie dają 180° więc kąt |CAD|=50° stopni
  6. Oto efekt końcowy

    Kąt |ĐCAD|=50° i |ĐADC|=60°


Krzysztof Drost