Zadania przygotowawcze
do etapu III-go dla uczniów klas II gimnazjum

Wyznacz pole i obwód trójkąta prostokątnego, w którym długość promienia okręgu wpisanego jest równa 4 cm, a promień okręgu opisanego jest równy 16 cm.

Wyznacz pole i obwód trójkąta prostokątnego, w którym wysokość poprowadzona z wierzchołka kata prostego dzieli przeciwprostokątną na odcinki długości 2 cm i 8 cm.

Dany jest trójkąt $OAB$, gdzie $A=(6,0), B=(0,6) \text{ i } O=(0,0).$ Niech $A_1$ będzie obrazem punktu $A$ w symetrii osiowej względem prostej $OB$, $B_1$ - obrazem punktu $B$ w symetrii osiowej względem prostej $OA$ $\text{i } O_1$ - obrazem punktu $O$ w symetrii osiowej względem prostej $AB.$ Oblicz pole trójkąta $A_1B_1O_1.$

Wyznacz pole ośmiokąta, w którym wszystkie kąty wewnętrzne są równe, zaś boki mają długości $2,\; \sqrt{2},\; 2,\; \sqrt{2},\; 2,\; \sqrt{2},\; 2,\; \sqrt{2}.$

W czworokącie $ABCDE$ dane są $|\angle ABC|=120^{\circ}$,$|\angle DBC|=50^{\circ}$, $|\angle ACD|=70^{\circ}.$ Wyznaczyć $|\angle CAD| \text{ i } |\angle ADC|.$

Wyznaczyć długość boku dwunastokąta foremnego wpisanego w okrąg o promieniu 8 cm.

W okrąg wpisano trójkąt $ABC$, w którym $|\angle CAB| = 30^{\circ}$ $\text{ i } |\angle ABC| = 80^{\circ}.$ Przez punkt $C$ poprowadzono styczną do okręgu. Styczna ta przecina przedłużenie boku $AB$ w punkcie $D.$ Oblicz miarę kąta $ADC.$

W okręgu o środku $O$ średnica $AB$ i cięciwa $CD$ przecinają się w punkcie $M.$ Miara kąta $CMB$ jest równa $75^{\circ}$, a miara kąta środkowego opartego na łuku $BC$ (bez punktów $A\text{ i }D$) wynosi $58^{\circ}.$ Wyznacz miarę kąta wpisanego $ACD.$

W okrąg o promieniu 6 cm wpisano ośmiokąt foremny. Wyznacz długość boku i pole tego ośmiokąta.

Środkiem symetrii rombu jest punkt $(0, 0).$ Jednym z jego wierzchołków jest punkt $(2,-2).$ Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków tego rombu, jeśli jego pole wynosi 8.

W okrąg wpisano trójkąt $ABC$, w którym $|\angle CAB| = 55^{\circ}$ $\text{i }|\angle ABC| = 70^{\circ}.$ Przez punkt $C$ poprowadzono styczną do okręgu. Styczna ta przecina przedłużenie boku $AB$ w punkcie $D$. Oblicz miarę kąta $ADC.$

Środkiem sześciokąta foremnego jest punkt $(-1,-1)$, a jednym z wierzchołków jest punkt $(-5,-1)$. Wyznaczyć pozostałe wierzchołki sześciokąta oraz obliczyć jego pole i obwód.

Punkt styczności okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny z przeciwprostokątną dzieli tę przeciwprostokątną na dwa odcinki długości 16 i 9. Obliczyć pole i obwód tego trójkąta.

Uzasadnij, że w  trójkącie prostokątnym suma długości przyprostokątnych jest równa sumie średnic okręgu wpisanego w ten trójkąt i okręgu opisanego na tym trójkącie.

W trójkącie prostokątnym $ABC$, w którym $|\angle ACB| = 90^{\circ}$, poprowadzono wysokość $CD$. Niech $r$ będzie promieniem okręgu wpisanego w trójkąt $ABC$, zaś $r_1$ - promieniem okręgu wpisanego w trójkąt $ADC$, $r_2$ - promieniem okręgu wpisanego w trójkąt $BCD.$
Udowodnić, że $r + r_1 + r_2 = |CD|.$

Obliczyć odległość między środkami okręgów wpisanego i opisanego dla trójkąta, którego boki mają długości 20, 20, 32.

Obliczyć wartości wyrażeń:

1. $1+(2+1)\cdot(2^2+1)\cdot(2^4+1)\cdot(2^8+1)\cdot \text{...}\cdot \cdot(2^{1024}+1),$
2. $\sqrt{3-\sqrt{5}}\cdot (3+\sqrt{5})\cdot (\sqrt{10}-\sqrt{2}),$
3. $\frac{\sqrt{5-2\sqrt{6}}}{(\sqrt[4]{3}+\sqrt[4]{2})\cdot(\sqrt[4]{3}-\sqrt[4]{2})}.$

Przedstawić podane wyrażenia w najprostszej postaci:

1. $\left(\left(\frac{x}{y-x}\right)^{-2}-\frac{(x+y)^{2}-4xy}{x^{2}-xy}\right)^{2}\cdot \frac{x^4}{y^2x^2-y^4},$
2. $\frac{2b+a-\frac{4a^2-b^2}{a}}{b^3+2ab^2-3a^2b}\cdot \frac{a^3b-2a^2b^2+ab^3}{a^2-b^2}.$