LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU ZADANIA W ROKU SZKOLNYM 2008/2009

Zadania przygotowawcze do  III-go spotkania konkursowego 4 kwietnia 2009 r. dla uczniów klas II gimnazjum

Tematyka: 1. Wielokąty foremne. 2. Okrąg opisany na trójkącie i okrąg wpisany w trójkąt. 3. Działania na wyrażeniach algebraicznych. 4. Symetrie w układzie współrzędnych.

Zadanie 1

Wyznacz pole i obwód trójkąta prostokątnego, w którym długość promienia okręgu wpisanego jest równa 4 cm, a promień okręgu opisanego jest równy 16 cm.

Rozwiązanie Tomka Bachanka

Zadanie 2

Wyznacz pole i obwód trójkąta prostokątnego, w którym wysokość poprowadzona z wierzchołka kata prostego dzieli przeciwprostokątną na odcinki długości 2 cm i 8 cm.

Rozwiązanie Marysi Baranowskiej

Zadanie 3

Dany jest trójkąt OAB, gdzie A=(6,0), B=(0,6) i O=(0,0). Niech A1 będzie obrazem punktu A w symetrii osiowej względem prostej OB, B1 - obrazem punktu B w symetrii osiowej względem prostej OA i O1 - obrazem punktu O w symetrii osiowej względem prostej AB. Oblicz pole trójkąta A1B1O1.

Rozwiązanie Ani Bekas

Zadanie 4

Wyznacz pole ośmiokąta, w którym wszystkie kąty wewnętrzne są równe, zaś boki maja długości 2, , 2, , 2, , 2, .

Rozwiązanie Maćka Cieszyńskiego

Zadanie 5

W czworokącie ABCDE dane są |ĐABC|=120°,|ĐDBC|=50°, |ĐACD|=70°. Wyznaczyć |ĐCAD| i |ĐADC|.

Rozwiązanie Krzysztofa Drosta

Zadanie 6

Wyznaczyć długość boku dwunastokąta foremnego wpisanego w okrąg o promieniu 8 cm.

Rozwiązanie Dawida Giersza

Zadanie 7

W okrąg wpisano trójkąt ABC, w którym |ĐCAB| = 30° i |ĐABC| = 80°. Przez punkt C poprowadzono styczną do okręgu. Styczna ta przecina przedłużenie boku AB w punkcie D. Oblicz miarę kąta ADC.

Zadanie 8

W okręgu o środku O średnica AB i cięciwa CD przecinają się w punkcie M. Miara Kąta CMB jest równa 75°, a miara kąta środkowego opartego na łuku BC (bez punktów A i D) wynosi 58°. Wyznacz miarę kąta wpisanego ACD.

Rozwiązanie Justyny Jaguszewskiej

Zadanie 9

W okrąg o promieniu 6 cm wpisano ośmiokąt foremny. Wyznacz długość boku i pole tego ośmiokąta.

Rozwiązanie Ani Jankowskiej

Zadanie 10

Środkiem symetrii rombu jest punkt (0, 0). Jednym z jego wierzchołków jest punkt (2,−2). Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków tego rombu, jeśli jego pole wynosi 8.

Zadanie 11

W okrąg wpisano trójkąt ABC, w którym |∠CAB| = 55o; i |∠ABC| = 70o. Przez punkt C poprowadzono styczną do okręgu. Styczna ta przecina przedłużenie boku AB w punkcie D. Oblicz miarę kąta ADC.

Rozwiązanie Szymona Kumorka

Zadanie 12

Środkiem sześciokąta foremnego jest punkt (−1,−1), a jednym z wierzchołków jest punkt (−5,−1). Wyznaczyć pozostałe wierzchołki sześciokąta oraz obliczyć jego pole i obwód.

Zadanie 13

Punkt styczności okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny z przeciwprostokątną dzieli tę przeciwprostokątną na dwa odcinki długości 16 i 9. Obliczyć pole i obwód tego trójkąta.

Zadanie 14

Uzasadnij, że w trójkącie prostokątnym suma długości przyprostokątnych jest równa sumie średnic okręgu wpisanego w ten trójkąt i okręgu opisanego na tym trójkącie.

Rozwiązanie Magdy Kuźmicz

Zadanie 15

W trójkącie prostokątnym ABC, w którym |∡ACB| = 90◦, poprowadzono wysokość CD. Niech r będzie promieniem okręgu wpisanego w trójkąt ABC, zaś r1 – promieniem okręgu wpisanego w trójkąt ADC, r2 – promieniem okręgu wpisanego w trójkąt BCD. Udowodnić, że r + r1 + r2 = |CD|.

Rozwiązanie Alicji Luboń

Zadanie 16

Obliczyć odległość między środkami okręgów wpisanego i opisanego dla trójkąta, którego boki mają długości 20, 20, 32.

Zadanie 17

Obliczyć wartość wyrażenia:

17a - Rozwiązanie Grzesia Nehringa

17c - Rozwiązanie Łukasza Sucheckiego

Zadanie 18

Przedstawić w najprostszej postaci:

Uwaga: W przygotowaniach do III spotkania można wykorzystać zbiór zadań "Liga Zadaniowa" - zad. 51-87, 276-310."