LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2008/2009
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU I
DLA KLAS II GIMNAZJUM

Zadanie 17

Wyznaczyć liczby pierwsze p, dla których liczba 2p + 1 jest podzielna przez 9.

Rozwi±zanie

Je¶li 2p + 1 dzieli się przez 9 to znaczy, że 2p + 1 = 9n, gdzie n jest ja¶ liczb± naturaln±.

Zauważmy, że 2p przy dzieleniu przez 9 musi dawać resztę 8:

2p + 1 = 9n = 9n - 9 + 9 = 9(n - 1)+ 9

2p = 9(n - 1) + 8

SprawdĽmy, jaka będzie reszta dla dowolnych p:

Zauważmy, że reszty z dzielenia 2 przez 9 powtarzaj± się co 6, przy tym reszta 8 pojawia się co 6 pocz±wszy od p=3. Widać, że taki wykładnik p możemy zapisać jako

p = 3 + 6n

gdzie n jest liczb± naturaln±

Dla dowolnego n wszystkie takie liczby dziel± się przez 3. a więc jedyn± liczb± pierwsz± w¶ród nich jest 3

Odp. Liczb± pierwsz± p, dla której 2p+1 jest podzielna przez 9 to p=3.

Grzegorz Nehring