LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU ZADANIA W ROKU SZKOLNYM 2008/2009

Zadania przygotowawcze do etapu I-go dla uczniów klas II gimnazjum

Tematyka: 1. Działania na potęgach i pierwiastkach. 2. Liczby rzeczywiste i działania na nich.

Zadanie 1

Która z liczb, czy , jest większa ?

Rozwiązanie Tomka Bachanka

Zadanie 2

Oblicz:

2a - Rozwiązanie Marysi Baranowskiej

2b - Rozwiązanie Oli Szymańskiej

Zadanie 3

Podaj co najmniej 10 liczb ośmiocyfrowych podzielnych przez 12 w zapisie których występują tylko cyfry 3 i 4. Ile jest wszystkich takich liczb?

Rozwiązanie Ani Bekas

Zadanie 4

Zapis dziesiętny liczby trzycyfrowej zaczyna się cyfrą 7. Cyfrę tę przenosimy na koniec zapisu. Otrzymana nowa liczba trzycyfrowa jest o 117 mniejsza od liczby wyjściowej. Od jakiej liczby wystartowaliśmy?

Rozwiązanie Maćka Cieszyńskiego

Zadanie 5

Oblicz: .

Rozwiązanie Krzysztofa Drosta

Zadanie 6

Oblicz: . .

6a: Rozwiązanie Dawida Giersza

6b: Rozwiązanie Michała Tesznara

Zadanie 7

Ustaw w porządku rosnącym liczby: 2160, 3100, 560, 850, 1636.

Rozwiązanie Olgi Humiennej

Zadanie 8

Oblicz: .

Rozwiązanie Justyny Jaguszewskiej

Zadanie 9

Czy istnieją dwie kolejne liczby naturalne takie, że suma cyfr każdej z nich jest podzielna przez 7? Czy istnieje tylko jedna taka para, jeśli istnieje?

Rozwiązanie Ani Jankowskiej

Zadanie 10

Oblicz: , .

10a: Rozwiązanie Krystiana Królewicza

10b: Rozwiązanie Magdy Tomaszewskiej

Zadanie 11

Dana jest liczba całkowita a. Uzasadnij, że co najmniej jedna z liczb a3 - a lub a3 + a jest podzielna przez 10.

Rozwiązanie Szymona Kumorka

Zadanie 12

Opisz zapis dziesiętny liczby a×b (z jakich i z ilu cyfr się składa oraz w jakiej kolejności), jeśli zapis dziesiętny liczby a składa się tylko ze 100 szóstek, a zapis dziesiętny liczby b składa się ze 100 trójek.

Zadanie 13

Uzasadnić, że  5n + 5n+1 + 5n+2  jest liczbą podzielną przez 155 dla każdej liczby całkowitej dodatniej n.

Rozwiązanie Pauliny Kużdowicz

Zadanie 14

Wyznacz wszystkie liczby naturalne siedmiocyfrowe podzielne przez 3 i przez 4, w zapisie których występują tylko cyfry 2 i 3, przy czym dwójek jest więcej niż trójek.

Rozwiązanie Magdy Kuźmicz

Zadanie 15

Wyznacz wszystkie trójki liczb pierwszych takie, że iloczyn każdych dwóch z nich przy dzieleniu przez trzecią daje resztę 1.

Zadanie 16

Dziadek i babcia mają razem 140 lat. Po ile lat ma każde z nich, jeżeli dziadek ma dwa razy tyle lat ile babcia miała wtedy, gdy dziadek miał tyle lat, ile lat babcia ma teraz?

Rozwiązanie Szymona Mrówczyńskiego

Zadanie 17

Wyznaczyć  liczby pierwsze p, dla których liczba 2p + 1 jest podzielna przez 9.

Rozwiązanie Grzegorza Nehringa

Zadanie 18

Wyznacz wartości wyrażeń:

18a - Rozwiązanie Mateusza Pacholskiego

18b - Rozwiązanie Maksa Turskiego

18c - Rozwiązanie Adrianny Wąsickiej

Zadanie 19

Czy zachodzą równości?

19b: Rozwiązanie Mateusza Wieczorka

Zadanie 20

Od liczby trzycyfrowej odjęto sumę jej cyfr. Z otrzymaną różnicą powtórzono tę operację, i tak dalej. Czynność tę powtórzono 100 razy. Udowodnić, że otrzymano 0.

Uwaga. W przygotowaniach do 1 spotkania konkursowego można wykorzystać zbiór zadań "Liga Zadaniowa" - strony 25, 26, 32, 33 oraz 9-19.