LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2008/2009
ZADANIA KONKURSOWE Z ETAPU II
DLA KLAS II GIMNAZJUM
Zadanie 2
Czy liczba 230+540 jest liczbą pierwszą ?
Rozwiązanie
Pokażę, że ta liczba nie jest pierwsza.
1. 540 + 230 =
2. (520)2 + (215)2 =
3. (520 + 215)2 - 2 * 215 * 520 =
4. (520 + 215)2 - 216 * 520 =
5. (520 + 215 )2 - (28 * 510 )2 =
6. (520 + 215 - 28 * 510) * (520 * 215 + 28 * 510)
Teraz trzeba udowodnić, że liczba (520 + 215 - 28 * 510) jest większa niż 1. Jeżeli tak jest to liczba 230+540 nie jest liczbą pierwszą, ponieważ po przemnożeniu przez (520 * 215 + 28 * 510) liczba ta nie bedzie liczbą pierwszą.
520 + 215 - 28 * 510 =
510 (510 - 28) + 215 > 1
Liczba (510 - 28) jest oczywiście dodatnia (bo pierwsza potęga ma większą i podstawę i wykładnik w porownaniu z drugą potęgą), więc cała liczba jest większa od 1.
ad. 3 Skorzystaliśmy ze wzoru -> a2 + b2 = (a + b)2 - 2ab
a = 520
b = 215
ad. 6 Skorzystaliśmy ze wzoru -> a2 - b2=(a - b) * (a + b)
a = 520 + 215
b = 28 * 510
Magdalena Tomaszewska