LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2008/2009
ZADANIA ĆWICZENIOWE ZE SPOTKANIA INAUGURACYJNEGO
DLA KLAS II GIMNAZJUM
Zadanie 2
Liczba naturalna n jest taka, że liczba n2+1 jest liczbą dziesięciocyfrową. Uzasadnić, że w zapise dziesiętnym liczby n2+1 występują co najmniej dwie jednakowe cyfry.
Rozwiązanie:
Przypuśćmy, że w zapisie dziesiętnym n2+1 nie występują jednakowe cyfry, czyli że cyfry liczby n2+1 są różne i wynoszą:
0 ,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
W takim razie suma cyfr n2+1 wynosi:
0+1+2+3+4+5+6+7+8+9=45
Oznacza to, że n2+1 jest podzielne przez 3 (bo 3|45).
W takim razie n2 z dzielenia przez 3 daje resztę 2.
TO JEST NIEMOŻLIWE, ponieważ kwadrat liczby naturalnej z dzielenia przez 3 daje resztę 0 lub 1.
Dowód:
Wszystkie możliwości są przedstawione w tabelce:
| R = reszta z dzielenia n przez 3 |
Postać liczby n |
Postać liczby n2 |
r = reszta z dzielenia n2 przez 3 |
| R=0 |
n = 3k |
n2=(3k)2=9k2=3(3k2)+0 |
r=0 |
| R=1 |
n=3k+1 |
n2=(3k+1)2=9k2+6k+1=3(3k2+2k)+1 | r=1 |
| R=2 |
n=3k+2 |
n2=(3k+2)2=9k2+12k+4=3(3k2+4k+1)+1 | r=1 |
Litera k oznacza dowolną liczbę naturalną.
Widzimy z tej tabelki, że obojętnie czy reszta z dzielenia liczby n przez 3 jest równa 0, czy 1, czy 2 (kolumna pierwsza tabeli) to reszta z dzielenia n2 przez 3 przyjmuje tylko wartości 0 lub 1 (kolumna ostatnia). Koniec dowodu, że to jest NIEMOŻLIWE.
Jeśli moje początkowe założenie (Przypuśćmy ...) okazało się niemożliwe do przyjęcia, to znaczy, że w zapisie dziesiętnym n2+1 występują co najmniej dwie jednakowe cyfry.
Mieszko Wodzyński