LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU

ZADANIA W ROKU SZKOLNYM 2002/2003

Zadania przygotowawcze do etapu II-go dla uczniów klas I gimnazjum
Tematyka:
1. Obliczanie pól wielokątów.
2. Układ współrzędnych.
3. Działania na wyrażeniach algebraicznych.
4. Kąty w kole.
Zadanie 1
Wiedząc, że obliczyć .
Rozwiązanie Kamila Bednarka

Zadanie 2
Uzupełnij kwadrat magiczne:

(a)
  4n2 - 2 3
  -n2  
     
(b)
     
  3n  
     
(c)
    n
    -6n 
    11n

Rozwiązanie Kamila Brożyny

Zadanie 3
Dwie proste prostopadłe dzielą okrąg na cztery łuki. Kąty środkowe oparte na łukach o mniejszych długościach mają miary: 40° i 50°. Wyznacz miary kątów środkowych opartych na pozostałych łukach.

Zadanie 4
Pole pewnego kwadratu jest nie mniejsze od pola prostokąta, którego jeden bok jest o 7 cm dłuższy, a drugi o 3 cm krótszy od boku tego kwadratu. Jaka może być największa długość boku kwadratu?

Rozwiązanie Pawła Gierlasińskiego

Zadanie 5
Wyznacz miary kątów czworokąta wypukłego, w którym trzy boki mają te same długości, a długość czwartego boku jest równa długości każdej z przekątnych czworokąta.

Zadanie 6
Wyznacz pole czworokąta ABCD, mając współrzędne punktów A = (-1,-3), B = (-4,1), C = (8,6), D = (6,-1).
Rozwiązanie Michała Kęder

Zadanie 7
Rozwiąż rebus: AAA - BBB + CC - D = 1234.
Rozwiązanie Marcina Kopczyńskiego

Zadanie 8
W trapezie równoramiennym ramiona mają długości 10 cm, a wysokość 6 cm. Oblicz obwód tego trapezu wiedząc, że jego pole wynosi 72 cm2.

Rozwiązanie Agaty Kozińskiej

Zadanie 9
Odcinek AB, gdzie A = (-2,1) i B = (3,1) jest przyprostokątną trójkąta prostokątnego równoramiennego. Wyznacz współrzędne trzeciego wierzchołka tego trójkąta.

Rozwiązanie Pawła Kruszki

Zadanie 10
Pole równoległoboku jest równe 12ab + 7a + 20. O ile pole tego równoległoboku jest większe od pola trójkąta o podstawie 4a i wysokości 3b + 1?

Rozwiązanie Macieja Lewandowskiego

Zadanie 11
Dany jest pięciokąt foremny ABCDE. Punkt F leży wewnątrz pięciokąta i ma taką własność, że trójkąt ABF jest równoboczny. Oblicz miarę kąta DEF.

Rozwiązanie Mateusza Mickiewicza

Zadanie 12
Wierzchołki trójkąta prostokątnego równoramiennego leżą na okręgu o promieniu 5 cm. Oblicz pole tego trójkąta.

Rozwiązanie Magdy Nieżurawskiej

Zadanie 13
Na okręgu obierz trzy punkty A, B, C tak, aby powstał trójkąt prostokątny, a miara kąta ostrego CAB wynosiła 30°. Oblicz miary kątów środkowych opartych na łukach wyznaczonych przez przyprostokątne AC oraz BC trójkąta prostokątnego ABC.

Rozwiązanie Marcina Pezdy

Zadanie 14
Na zewnątrz trójkąta prostokątnego równoramiennego o przyprostokątnej długości 4 cm zbudowano kwadraty. Jednym z boków każdego kwadratu jest bok tego trójkąta. Punkty przecięcia przekątnych kwadratów wyznaczają trójkąt. Oblicz pole otrzymanego trójkąta.
Rozwiązanie Michała Pośpiech

Zadanie 15
Na okręgu o środku O obrano trzy różne punkty A, B, C. Oblicz miary kątów AOB, BOC, AOC jeżeli |Đ ABC| = 98°, a |Đ BAC| = 62°. (Patrz rys.)

Zadanie 16
Dwie proste prostopadłe dzielą okrąg na cztery łuki. Kąty środkowe oparte na łukach o mniejszych długościach mają miary: 30° i 45°. Wyznacz miary kątów środkowych opartych na pozostałych łukach.

Zadanie 17
Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długości 3 cm oraz 6 cm. Oblicz długość promienia okręgu o środku leżącym na przeciwprostokątnej i stycznego do obu przyprostokątnych.

Rozwiązanie Magdy Ryczkowskiej

Zadanie 18
Długość każdego boku kwadratu zwiększono o 5%. O ile procent zwiększyło się pole tego kwadratu, a o ile obwód?

Rozwiązanie Flipa Słomskiego

Zadanie 19
W kole narysowano cięciwę AB i równoległą do niej cięciwę CD. Uzasadnij, że w trójkącie ACD różnica miar kątów przy wierzchołkach C i D jest równa 90°.

Rozwiązanie Błażeja Smułka

Zadanie 20
Oblicz miary kątów trójkąta równoramiennego, którego wierzchołki leżą na okręgu wiedząc, że jeden z boków jest oparty na  długości okręgu.

Rozwiązanie Pawła Sobocińskiego

Zadanie 21
W trójkącie prostokątnym długości przyprostokątnych wynoszą x i 2. Przyprostokątną x zwiększono o 20%, a drugą przyprostokątną zmniejszono o 20%. Jak zmieni się pole tego trójkąta?
Rozwiązanie Macieja Szczepkowskiego

Zadanie 22
Oblicz obwód kwadratu, którego pole jest dziewięciokrotnie większe od pola kwadratu o boku długości 8 cm.

Zadanie 23
Ile trójek należy dodać aby otrzymać liczbę: (a) 34, (b) 310, (c) 381, (d) 32002 ?

Zadanie 24
Jaka jest ostatnia cyfra liczby:

(a) 323,   (b) 416,   (c) 120 + 230 + 340 + 450,   (d) 532 - 412 ?


Zadanie 25
Na podstawie rysunku oblicz miarę kąta a.

Rozwiązanie Piotra Tylendy

Zadanie 26
O ile suma liczb jest większa od ilorazu liczb ?

Zadanie 27
Współrzędne wierzchołków trójkąta ABC wynoszą: A = (2,-1),  B = (-3,2),  C = (-3,-3). Oblicz pole trójkąta ABC.

Rozwiązanie Iwony Lis

Zadanie 28
Na ile minimalnie trójkątów można podzielić:
(a) sześciokąt,  (b) siedmiokąt,  (c) dziewięciokąt,  (d) dziesięciokąt?.

Rozwiązanie Pawła Rzymyszkiewicza

Zadanie 29
Krótsza przekątna deltoidu dzieli go na dwa trójkąty, z których jeden jest równoboczny. Oblicz miary kątów deltoidu, wiedząc, że najmniejszy z nich ma miarę 34°.

Zadanie 30
W trójkącie dwa kąty wewnętrzne mają miary 102° i 27°. Oblicz miary wszystkich kątów zewnętrznych tego trójkąta.