Zadania przygotowawcze
do etapu III-go dla uczniów klas II gimnazjum

Czy zbiór $\{(1,1), (1,5), (5,5), (5,1)\}$ ma osie symetrii? Jeśli tak, to napisać równania wszytkich jego osi symetrii.

Środkiem symetrii sześciokąta foremnego jest punkt $(0,0)$, a jednym z jego wierzchołków jest punkt $(0,6).$ Wyznacz pozostałe wierzchołki oraz pole i obwód tego sześciokąta.

Środkiem symetrii kwadratu jest punkt $(0,0)$, a jednym z jego wierzchołków punkt $(4,2)$. Wyznacz pozostałe wierzchołki tego kwadratu oraz pole i jego obwód.

Wyznacz pole i obwód ośmiokąta foremnego, na którym można opisać okrąg o promieniu 10 cm.

Wyznacz pole i obwód trójkąta prostokątnego jeśli wiadomo, że promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równy 4 cm, a promień okręgu opisanego na tym trójkącie wynosi 10 cm.

Wyznacz odległość między środkami okręgu wpisanego i okręgu opisanego na trójkącie, którego boki mają długości 10 cm, 10 cm i 16 cm.

W okrąg o promieniu $R=6 \text{ cm}$ wpisano trójkąt równoboczny, sześciokąt foremny i dwunastokąt foremny. Oblicz długość boku każdego z tych wielokątów. Wyznacz obwód i pole tych wielokątów foremnych.

Czy istnieje na płaszczyźnie z układem współrzędnych, trójkąt równoboczny, którego wszystkie wierzchołki mają współrzędne będące liczbami całkowitymi? Rozważ ten sam problem dla kwadratu i sześciokąta foremnego.

Oblicz odległość między środkami okręgu wpisanego i okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym, którego przyprostokątne mają długości 20 cm i 15 cm.

Uzasadnij, że w trójkącie prostokątnym suma długości przyprostokątnych jest równa sumie średnic okręgu wpisanego w ten trójkąt i okręgu opisanego na tym trójkącie.

Udowodnij, że $r+r_1+r_2 = h$,
gdzie:
$r_1$ jest promieniem okręgu wpisanego w trójkąt $ADC$,
$r_2$ - promieniem okręgu wpisanego w trójkąt $DBC$,
$r$ - promieniem okręgu wpisanego w trójkąt $ABC$,
zaś $h = |CD|.$

Wyznacz pole i obwód trójkąta prostokątnego, dla którego promień okręgu wpisanego w ten trójkąt równa się 2 cm, a promień okręgu opisanego na tym trójkącie równa się 5 cm.

Napisz równania osi symetrii odcinka $AB$, gdzie $A = (-1,5)$, $B = (3,5).$

Czy zbiór $\{(0,0), (0,4), (4,4), (4,0)\}$ posiada osie symetrii? Jeśli tak, to napisz równania wszystkich jego osi symetrii.

Odcinek $AB$, gdzie $A=(-1,1)$, $B=(-3,3)$, przekształć w symetrii względem osi $OY.$ Następnie oblicz pole figury $ABB'A'$, gdzie $A'$, $B'$ są odpowiednio obrazami punktów $A$ i $B$ w tej symetrii.

Punkt $(0,0)$ jest środkiem symetrii rombu. Jednym z wierzchołków tego rombu jest punkt $(2,2).$ Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków tego rombu, jeśli jego pole wynosi 4.

Czy istnieje liczba pierwsza postaci $\underbrace{\overline{aa\text{...} a}}_{b\;cyfr}-\underbrace{\overline{bb\text{...} b}}_{a\;cyfr}$ $\text{gdzie}\;a \text{ i }b$ są cyframi $\text{i }b\gt a?$

Liczbę sześciocyfrową podzielną przez 9 pomnożono przez 111111. Uzasadnij, że w  zapisie dziesiętnym tego iloczynu występuje co najmniej jedna dziewiątka.

Wzdłuż alei parku postawiono 20 słupków, których wysokości były równe 1 m, 2 m lub 3 m. Piotr idąc aleją doliczył się 13 par sąsiednich słupków, w których wysokość pierwszego słupka była mniejsza od wysokości drugiego słupka. Natomiast wracając doliczył się tylko 5 takich par. Czy jest to możliwe?

Na trójkącie $ABC$ opisz okrąg i przez punkt $B$ poprowadź styczną dovokręgu. Kąt $BAC$ jest równy $16^{\circ}.$ Oblicz kąt między styczną, a bokiem $BC.$

Trójkat równoboczny $ABC$ wpisany jest w okrąg. Punkt $P$ leży na łuku $CA$ (nie zawierającym punktu $B$).
Wykaż, że $|PA|+|PC|=|PB|.$