LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU

ZADANIA W ROKU SZKOLNYM 2001/2002


Zadania przygotowawcze do etapu III-go dla uczniów klas II gimnazjum
Tematyka:
1. Wielokąty foremne.
2. Okrąg opisany na trójkącie i okrąg wpisany w trójkąt.
3. Symetrie w układzie współrzędnych.
Zadanie 1
Czy zbiór {(1,1), (1,5), (5,5), (5,1)} ma osie symetrii? Jeśli ma on osie symetrii, to napisz równania wszystkich jego osi symetrii.

Rozwiązanie Mariusza Banacha

Zadanie 2
Środkiem symetrii sześciokąta foremnego jest punkt (0,0), a jednym z jego wierzchołków  punkt (0,6). Wyznacz pozostałe wierzchołki sześciokąta oraz oblicz pole i obwód tego sześciokąta.

Zadanie 3
Środkiem kwadratu jest punkt (0,0), a jednym z wierzchołków jest punkt (4,2). Wyznacz pozostałe wierzchołki tego kwadratu oraz jego pole i obwód.

Zadanie 4
Wyznacz pole i obwód sześciokąta foremnego, na którym można opisać okrąg o promieniu długości 10 cm.

Rozwiązanie Kamila Ciszaka

Zadanie 5
Wyznacz pole i obwód trójkąta prostokątnego jeśli wiadomo, że promień okręgu wpisanego w ten trójkąt ma długość 4 cm, a promień okręgu opisanego ma  długość 10 cm.

Rozwiązanie Wojtka Góreckiego

Zadanie 6
Wyznacz odległość między środkami okręgu wpisanego i okręgu opisanego na trójkącie, którego boki mają długości 10 cm, 10 cm i  16 cm.

Rozwiązanie Agaty Kapicy

Zadanie 7
Okrąg o promieniu R = 6 cm wpisano w trójkąt równoboczny, sześciokąt foremny i dwunastokąt foremny. Oblicz długość boku każdego z tych wielokątów. Wyznacz pole i obwód tych wielokątów foremnych.

Zadanie 8
Czy istnieje na płszczyźnie z układem współrzędnych trójkąt równoboczny, którego wszystkie wierzchołki mają współrzędne będące liczbami całkowitymi? Rozważ ten sam problem dla kwadratu i sześciokąta foremnego.

Zadanie 9
Oblicz odległość między środkami okręgu wpisanego i okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym, którego przyprostokątne mają długości 20 cm, 15 cm.

Zadanie 10
Uzasadnij, że w trójkącie prostokątnym suma długości przyprostokątnych równa się podwojonej średnic okręgu wpisanego w ten trójkąt i okręgu opisanego na tym trójkącie.

Zadanie 11
W trójkącie prostokątnym ABC o kącie prostym przy wierzchołku C poprowadzono wysokość CD. Udowodnij, że r + r1 + r2 = h, gdzie
r1 jest promieniem okręgu wpisanego w trójkąt ADC,
r2 - promieniem okręgu wpisanego w  trójkąt DBC,
r - promieniem okręgu wpisanego w  trójkąt ABC,
zaś h = |CD|.

Zadanie 12
Wyznacz pole i obwód trójkąta prostokątnego, dla którego promień okręgu wpisanego w ten trójkąt ma długość 2 cm, a promień okręgu opisanego ma  długość 5 cm.

Zadanie 13
Napisz równania osi symetrii odcinka AB, gdzie A = (-1,5), B = (3,5).

Rozwiązanie Kamila Maksymiaka
Zadanie 14
Czy zbiór {(0,0), (0,4), (4,4), (4,0)} posiada osie symetrii? Jeśli tak, to napisz równania wszystkich jego osi symetrii.

Zadanie 15
Odcinek AB, gdzie A = (-1,1), B = (-3,3), przekształć w symetrii względem osi OY. Następnie oblicz pole figury ABB'A', gdzie A' i B' są odpowiednio obrazami punktów A i B w tej symetrii.

Zadanie 16
Punkt (0,0) jest środkiem symetrii sześciokąta foremnego. Jednym z wierzchołków tego sześciokąta jest punkt A=(4,0). Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków.

Zadanie 17
Czy istnieje liczba pierwsza postaci

gdzie a i b są cyframi i b>a?

Zadanie 18
Liczbę sześciocyfrową podzielną przez 9 pomnożono przez 111111. Uzasadnij, że w zapisie dziesiętnym tego iloczynu występuje co najmniej jedna dziewiątka.

Zadanie 19
Wzdłuż alei parku postawiono 20 słupków, których wysokości były równe 1 m, 2 m lub 3 m. Piotr idąc aleją doliczył się 13 par sąsiednich słupków, w których wysokość pierwszego słupka była mniejsza od wysokości drugiego słupka. Natomiast wracając doliczył się tylko 5 takich par. Czy jest to możliwe?

Zadanie 20
Na trójkącie ABC opisz okrąg i przez punkt B poprowadź styczną do okręgu. Kąt BAC jest równy 16°. Oblicz kąt między styczną, a bokiem BC.

Zadanie 21
Trójkat równoboczny ABC wpisany jest w okrąg. Punkt P leży na łuku CA (nie zawierającym punktu B). Wykaż, że |PA|+|PC|=|PB|.