LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU

ZADANIA W ROKU SZKOLNYM 2004/2005

Test inauguracyjny
dla uczniów klas II gimnazjum


Zadanie 1

Czy liczba $\frac{1}{1\cdot 3}+\frac{1}{2\cdot 4}+\frac{1}{3\cdot 5}+\frac{1}{4\cdot 6}+\text{...}+\frac{1}{2001\cdot 2003}+\frac{1}{2002\cdot 2004}$ jest większa $\text{od }\frac{3}{4}-\frac{1}{200}?$

Zadanie 2

Wewnątrz czworokąta wypukłego znaleźć punkt, dla  którego suma odległości od wierzchołków tego czworokąta jest najmniejsza.

Zadanie 3

Czy w jednostkowe kratki kwadratu o wymiarach $4\times 4$ można wpisać liczby naturalne od 1 do 16, przy  czym w każdą kratkę wpisujemy po jednej liczbie tak, aby w sąsiednich kratkach dowolnej kratki były wszystkie liczby większe lub wszystkie mniejsze od liczby w tej kratce? Kratki są sąsiednimi gdy mają wspólny bok.

Zadanie 4

W sześciokącie foremnym $ABCDEF$ punkty $G$, $H$, $I$ są środkami boków $DE,\; EF \text{ i } FA$ odpowiednio. Odcinki $AG$, $BH \text{ i } CI$ przecinając się parami wyznaczają trzy wierzchołki pewnego trójkąta. Uzasadnić, że trójkąt ten jest równoboczny.