|
LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU
ZADANIA W ROKU SZKOLNYM 2004/2005 |
Zadania niespodzianki
na spotkanie kończące Ligę Zadaniową
w roku szkolnym 2004/2005 w dniu 14.05.2005 r.
|
| Zadanie 1 |
Zapis dziesiętny liczby dziewięciocyfrowej zawiera każda cyfrę. Po pewnym przestawieniu cyfr otrzymano liczbę ośmiokrotnie mniejszą. Wyznacz wszystkie takie liczby.
|
Rozwiązanie Pauliny Bały
|
| Zadanie 2 |
Liczba n + 1 jest podzielna przez 24. Pokazać, że suma dzielników liczby n (włącznie z 1 i n) także dzieli się przez 24.
|
| Zadanie 3 |
Wyznaczyć wszystkie liczby pierwsze p, dla których także p p + 1 + 2 jest liczbą pierwszą.
|
| Zadanie 4 |
- Adam i Bartek grają w następującą grę: tworzą oni liczbę dwudziestocyfrową używając jedynie cyfr: 1, 2, 3, 4, 5. Pierwszy pisze Adam - pierwszą cyfrę od lewej strony, drugą cyfrę od lewej strony pisze Bartek, trzecią cyfrę pisze Adam itd. na przemian zapisują oni swoje propozycje. Wygrywa Bartek, jeśli otrzymana liczba jest podzielna przez 9. W przeciwnym razie wygrywa Adam. Który z chłopców może zapewnić sobie wygraną.
- Rozwiąż ten sam problem dla liczby trzydziestocyfrowej.
|
| Zadanie 5 |
Mamy pięć liczb całkowitych. Tworzymy dziesięć nowych liczb dodając każde dwie liczby do siebie. Czy otrzymane liczby mogą być kolejnymi liczbami całkowitymi?
|
| Zadanie 6 |
Rozwiązać w trójkach liczb naturalnych (x, y, z) równanie: 105x + 211y = 106z
|
| Zadanie 7 |
Liczba a jest pięciocyfrowa i zapisana jest przy pomocy cyfr 2 i 3. Liczba b jest także pięciocyfrowa i zapisana jest tylko przy pomocy cyfr 3 i 4. Czy iloczyn tych liczb może być zapisany tylko przy pomocy samych dwójek?
|
| Zadanie 8 |
Reszta z dzielenia pewnej liczby a przez 11 jest równa reszcie z dzielenia pewnej liczby b przez 13. Ponadto reszty z dzielenia liczby a przez 13 i liczby b przez 11 też są równe. Udowodnić, że reszta z dzielenia liczby a + b przez 143 jest nie większa niż 20.
|
| Zadanie 9 |
Podać przykład liczby ośmiocyfrowej o różnych cyfrach, w której przez skreślenie dowolnych dwóch cyfr otrzymamy liczbę złożoną.
|
| Zadanie 10 |
Czy można dobrać cztery liczby całkowite dodatnie tak, by suma dowolnych dwóch z nich była naturalną potęgą piątki.
|
| Rozwiązanie Magdy Jastrzembskiej |
| Zadanie 11 |
Uzasadnić, że dla dowolnej liczby naturalnej n liczba  jest liczbą naturalną.
|
| Zadanie 12 |
W trójkącie ABC mamy |ĐBAC| = 60°. Niech K będzie punktem przecięcia się środkowej CM i wysokości BN. Wyznaczyć kąty trójkąta ABC, jeśli |CK| = 6 cm i |KM| = 1 cm.
|
| Zadanie 13 |
W trójkącie ABC dwusieczna poprowadzona z wierzchołka A, symetralna boku AB i wysokość opuszczona z wierzchołka B przecinają się w jednym punkcie. Wyznaczyć miarę kąta BAC.
|
| Zadanie 14 |
Znaleźć |ĐABC|
w trójkącie ABC, jeśli wysokość |CH| = ½|AB| i |ĐBAC| = 75°.
|
| Zadanie 15 |
W trójkącie równoramiennym ABC kąt między ramionami wynosi 20°. Udowodnić, że długość ramienia jest większa od podwojonej długości podstawy a jednocześnie mniejsza o potrojonej długości podstawy.
|
| Zadanie 16 |
 Prostokąt, którego długości boków wyrażają się liczbami naturalnymi można pokryć z figurami złożonymi z trzech kwadratów jednostkowych i o kształcie przedstawionym na rysunku. Pokazać, że wobec tego, prostokąt ten można złożyć z prostokątów o wymiarach 3×1.
|
Rozwiązanie Ani Ługiewicz
|
| Zadanie 17 |
 Pokazać, że prostokąta o wymiarach 10×10 nie da się pokryć figurami złożonymi z czterech kwadratów jednostkowych i o kształcie przedstawionym na rysunku.
|
| Zadanie 18 |
Za stołem mamy pewną liczbę chłopców i pięć dziewcząt. Na stole na talerzu mamy 30 bułek. Każda dziewczyna dała po jednej bułce znajomemu chłopcu, a każdy chłopiec dał po jednej bułce każdej nieznajomej dziewczynie. Wtedy wszystkie bułki zostały rozdane. Ilu chłopców było przy stole?
|
| Zadanie 19 |
Mamy liczby
a1,
a2,
a3
...,
an.
Każda z nich jest równa 1 lub -1.
Ponadto:
a1 × a2 +
a2 × a3 +
a3 × a4 +
... +
an-1 × an +
an × a1 = 0.
Pokazać, że liczba n jest podzielna przez 4.
|
| Zadanie 20 |
Sprawdzić, że liczba 1 + 2 3456789 jest złożona.
|
| Zadanie 21 |
Pole czworokąta wypukłego jest równe 3, a przekątne tego czworokąta mają długości 6 i 2. Pod jakim kątem przecinają się te przekątne?
|
| Zadanie 22 |
Rozwiązać w liczbach całkowitych układ równań:  .
|
Rozwiązanie Hani Słupskiej
|
| Zadanie 23 |
Czy istnieje punkt na płaszczyźnie taki, że odległości tego punktu od wierzchołków pewnego prostokąta leżącego w tej samej płaszczyźnie były równe 1, 4, 7, 8?
|
| Zadanie 24 |
Liczba trzycyfrowa  jest podzielna przez 37. Pokazać, że suma liczb  i  także jest podzielna przez 37.
|