Zadania niespodzianki
dla uczniów klas II gimnazjum

Zapis dziesiętny liczby dziewięciocyfrowej zawiera każdą cyfrę. Po pewnym przestawieniu cyfr otrzymano liczbę ośmiokrotnie mniejszą. Wyznacz wszystkie takie liczby.

Liczba $n + 1$ jest podzielna przez 24. Pokazać, że suma dzielników liczby $n$ (włącznie z 1 $\text{i } n$) także dzieli się przez 24.

Wyznaczyć wszystkie liczby pierwsze $p,$ dla których także $p^{p + 1} + 2$ jest liczbą pierwszą.

1. Adam i Bartek grają w następującą grę: tworzą oni liczbę dwudziestocyfrową używając jedynie cyfr: 1, 2, 3, 4, 5. Pierwszy pisze Adam - pierwszą cyfrę od lewej strony, drugą cyfrę od lewej strony pisze Bartek, trzecią cyfrę pisze Adam itd. na przemian zapisują oni swoje propozycje. Wygrywa Bartek, jeśli otrzymana liczba jest podzielna przez 9. W przeciwnym razie wygrywa Adam. Który z chłopców może zapewnić sobie wygraną?
2. Rozwiąż ten sam problem dla liczby trzydziestocyfrowej.

Mamy pięć liczb całkowitych. Tworzymy dziesięć nowych liczb dodając każde dwie liczby do siebie. Czy otrzymane liczby mogą być kolejnymi liczbami całkowitymi?

Rozwiązać w trójkach liczb naturalnych $(x, y, z)$ równanie: $105^x + 211^y = 106^z.$

Liczba $a$ jest pięciocyfrowa i zapisana jest przy pomocy cyfr 2 i 3. Liczba $b$ jest także pięciocyfrowa i zapisana jest tylko przy pomocy cyfr 3 iv4. Czy iloczyn tych liczb może być zapisany tylko przy pomocy samych dwójek?

Reszta z dzielenia pewnej liczby $a$ przez 11 jest równa reszcie z dzielenia pewnej liczby $b$ przez 13. Ponadto reszty z dzielenia liczby $a$ przez 13 i liczby $b$ przez 11 też są równe. Udowodnić, że reszta z dzielenia liczby $a + b$ przez 143 jest niewiększa niż 20.

Podać przykład liczby ośmiocyfrowej o różnych cyfrach, w której przez skreślenie dowolnych dwóch cyfr otrzymamy liczbę złożoną.

Czy można dobrać cztery liczby całkowite dodatnie tak, by suma dowolnych dwóch z nich była naturalną potęgą piątki.

Uzasadnić, że dla dowolnej liczby naturalnej $n$ liczba $\frac{10^n-1}{81}-\frac{n}{9}$ jest liczbą naturalną.

W trójkącie $ABC$ mamy $|\angle BAC| = 60^{\circ}.$ Niech $K$ będzie punktem przecięcia się środkowej $CM$ i wysokości $BN.$ Wyznaczyć kąty trójkąta $ABC,$ jeśli $|CK| = 6\text{ cm}$ $\text{i } |KM| = 1\text{ cm}.$

W trójkącie $ABC$ dwusieczna poprowadzona z wierzchołka $A,$ symetralna boku $AB$ i wysokość opuszczona z wierzchołka $B$ przecinają się w jednym punkcie. Wyznaczyć miarę kąta $BAC.$

Wyznaczyć miarę kąta $ABC$ w trójkącie $ABC$, w którym długość wysokości $CH$ jest równa $\frac{1}{2}|AB|$ $\text{oraz } |\angle BAC| = 75^{\circ}.$

W trójkącie równoramiennym $ABC$ kąt między ramionami wynosi $20^{\circ}.$ Udowodnić, że długość ramienia jest większa od podwojonej długości podstawy, a jednocześnie mniejsza od potrojonej długości podstawy.

Za stołem mamy pewną liczbę chłopców i pięć dziewcząt. Na stole na talerzu mamy 30 bułek. Każda dziewczyna dała po jednej bułce znajomemu chłopcu, a każdy chłopiec dał po jednej bułce każdej nieznajomej dziewczynie. Wtedy wszystkie bułki zostały rozdane. Ilu chłopców było przy stole?

Mamy liczby $a_1,\; a_2,\; a_3, \text{...}, a_n.$ Każda z nich jest równa 1 lub -1. Ponadto: $a_1 \cdot a_2 + a_2 \cdot a_3 + a_3 \cdot a_4 + \text{...} + a_{n-1} \cdot a_n + a_n \cdot a_1 = 0.$ Pokazać, że liczba $n$ jest podzielna przez 4.

Sprawdzić, że liczba $1 + 2^{3456789}$ jest złożona.

Pole czworokąta wypukłego jest równe 3, a przekątne tego czworokąta mają długości 6 i 2. Pod jakim  kątem przecinają się te przekątne?

Rozwiązać w liczbach całkowitych układ równań: $$ \begin{cases} a^2-b^2-c^2=1\\ b+c-a=3 \end{cases} $$

Czy istnieje punkt na płaszczyźnie taki, że odległości tego punktu od wierzchołków pewnego prostokąta leżącego w tej samej płaszczyźnie były równe 1, 4, 7, 8?

Liczba trzycyfrowa $\overline{abc}$ jest podzielna przez 37. Pokazać, że suma liczb $\overline{bca} \text{ i } \overline{cab}$ także jest podzielna przez 37.