Zadanie 1
Oblicz $\frac{\sqrt{8-2\cdot\sqrt{15}}}{(\sqrt[4]{5}+\sqrt[4]{3})\cdot(\sqrt[4]{5}-\sqrt[4]{3})}.$
Zadanie 2
Na kwadracie $ABCD$ o boku 5 opisano okrąg, a następnie wykreślono okrąg o środku w punkcie $A$ i promieniu $AB.$ Oblicz pole kolorowej figury widocznej na rysunku.
Zadanie 3
Czy liczba $2^{10} + 2005^{8}$ jest liczbą pierwszą?
Zadanie 4
Średnica $AB$ dzieli koło o środku w punkcie $O$ na dwie części. Trójkąt prostokątny $ABC$ ma przyprostokątne długości 18 cm i 24 cm. Punkt $D$ będzie środkiem odcinka $AO.$ Na odcinkach $AD, DO \text{ i }OB$ zbudowano jako na średnicach półkola tak, jak to widać na rysunku. Oblicz pole i obwód kolorowego obszaru.
Zadanie 5
Dane wyrażenie
$$\left(x+y-\frac{4xy}{x+y}\right):\left(\frac{x}{x+y}-\frac{y}{y-x}+\frac{2xy}{x^2-y^2}\right)$$ sprowadź do najprostszej postaci, a następnie policz jego wartość $\text{dla }x = 0,6 \text{ i } y = -0,4.$
$$\left(x+y-\frac{4xy}{x+y}\right):\left(\frac{x}{x+y}-\frac{y}{y-x}+\frac{2xy}{x^2-y^2}\right)$$ sprowadź do najprostszej postaci, a następnie policz jego wartość $\text{dla }x = 0,6 \text{ i } y = -0,4.$
Zadanie 6
Wyznacz najmniejszą liczbę naturalną złożoną, która nie dzieli się przez żadną z liczb naturalnych od 2 do 100.
Uwagi.
- Wszystkie odpowiedzi do zadań powinny być uzasadnione.
- Czas trwania konkursu: 90 minut.
- Nie można używać kalkulatorów.