LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU

ZADANIA W ROKU SZKOLNYM 2005/2006

Zadania do etapu III-go dla uczniów klas VI szkół podstawowych
Tematyka
1. Proste wyrażenia algebraiczne.
2. Zadania tekstowe wymagające znajomości rozwiązywania prostych równań i nierówności.
3. Podstawowe figury geometryczne i ich pola.
Zadanie 1
Oblicz x, jeżeli     .

Zadanie 2
Zastęp harcerzy  miał do przebycia pewną trasę. W pierwszym dniu harcerze przebyli 9/17  trasy, w drugim 4/15 pozostałej trasy, a w trzecim dniu 35,2 kilometra. Ile kilometrów przebyli harcerze w pierwszym i drugim dniu?

Zadanie 3
Dziadek i babcia mają razem 140 lat. Po ile lat ma każde z nich, jeśli dziadek ma dwa razy tyle lat, ile lat babcia miała wtedy, gdy dziadek miał tyle lat co babcia ma teraz?
Zadanie 4
W trójkącie prostokątnym ABC, z kątem prostym przy wierzchołku C, poprowadzono wysokość CH. Wyznacz miary kątów tego trójkąta, jeśli wiadomo, że |HB| - |AH| = |AC|.

Zadanie 5
Po skreśleniu ostatniej cyfry pewnej liczby całkowitej dodatniej otrzymano liczbę 12 razy mniejszą. Podaj wszystkie liczby o tej własności.

Zadanie 6
W trójkącie prostokątnym jeden z kątów ostrych jest czterokrotnie mniejszy od drugiego. Oblicz miary tych kątów.

Zadanie 7
Rozwiąż równania, a dowiesz się ile jest w Toruniu:
  1. wszystkich zabytków

    -4(x + 5) - 6(x - 50) = -3(3x + 20) - 10

  2. zabytków klasy "0"

    4(x - 7) = 1+ 3(x - 8)

Rozwiązanie Jakuba Szpondera

Zadanie 8
Oblicz miary kątów wewnętrznych trójkąta, jeżeli wiadomo, że jeden kąt jest 1,5 razy większy od drugiego, a trzeci jest równy sumie dwóch pozostałych kątów.

Zadanie 9
Na okręgu o środku O obrano cztery punkty K, L, M, N takie, że |ĐKLM| = 100°, |ĐLMN| = 60°. Wykonaj rysunek pomocniczy i oblicz miary kątów wewnętrznych czworokąta KLMN.

Zadanie 10   Zadanie staroegipskie z rękopisu Rajunda (2000-1700 r. przed Chr.) przechowywanego w muzeum brytyjskim.
Wyznacz liczbę jeżeli suma tej liczby i jej dwu trzecich części zmniejszona o trzecią część tej sumy jest równa 100.
Zadanie 11
Wewnątrz kwadratu leży mniejszy kwadrat. Boki obu kwadratów są odpowiednio równoległe. Wierzchołki kwadratów połączono tak jak na rysunku, tworząc cztery trapezy. Wykaż, że suma pól zacieniowanych trapezów jest równa sumie pól pozostałych dwóch trapezów.

Zadanie 12
Książka zawiera x stronic. Na każdej jest y wierszy, a w każdym wierszu z liter. W drugim wydaniu tej samej książki zmieniono wymiary druku tak, że w każdym wierszu zmieściło się a liter, a na każdej stronie b wierszy. Ile stron zawierało drugie wydanie tej książki?

Zadanie 13
Pole pewnego kwadratu jest nie mniejsze od pola prostokąta, którego jeden z boków jest o 7 cm dłuższy, a drugi o 3 cm krótszy od boku kwadratu. Jaka może być największa długość boku tego kwadratu?

Zadanie 14
Turysta miał do przebycia 80 km. Pierwszego dnia przebył 60% tego, co dnia drugiego, a trzeciego dnia przebył mniej niż całej drogi. Jakie odcinki drogi mógł przebyć turysta każdego dnia?

Zadanie 15
Po skreśleniu ostatniej cyfry liczby całkowitej dodatniej otrzymano liczbę 14 razy mniejszą. Podaj wszystkie liczby o tej własności.

Zadanie 16
W pewnym miesiącu trzy niedziele wypadły w dni parzyste. Jaki dzień tygodnia wypadł dwudziestego tego miesiąca?

Zadanie 17
Płytkę o wymiarach 60 cm na 85 cm obrysowano ołówkiem na kartce papieru. Znajdź środek otrzymanego prostokąta posługując się tylko płytką i ołówkiem.

Zadanie 18
Czy istnieje prostokąt, którego długości dwóch boków wynoszą odpowiednio i  długości obwodu tego prostokąta?

Zadanie 19
Znajdź wszystkie liczby czterocyfrowe postaci wiedząc, że są one podzielne przez 3 i takie, że a, c, d są kolejnymi liczbami parzystymi.

( oznacza zapis dziesiętny liczby, to znaczy: a jest cyfrą tysięcy, b -cyfrą setek, c - cyfrą dziesiątek i d - cyfrą jedności.)

Rozwiązanie Zuzi Rogaszewskiej

Zadanie 20
Liczbę a zmniejszono o 15%, a następnie tak otrzymaną liczbę zwiększono o 15%. Czy otrzymana liczba jest większa, równa czy mniejsza od liczby a?

Zadanie 21
Suma dwóch liczb jest równa 51. Jeżeli w większym składniku skreślimy jedna cyfrę, to otrzymamy drugi składnik. Jakie to liczby?

Zadanie 22
Czy można w miejsce gwiazdek wpisać liczby tak, aby w ciągu 10 liczb:

1, *, *, *, 7, *, *, *, 5, *

suma każdych trzech liczb była jednakowa?

Rozwiązanie Tomka Michalskiego

Zadanie 23
Jeżeli podzielimy 100 przez p, to otrzymamy m i resztę 6. Oblicz p i m.

Zadanie 24
Czy istnieje graniastosłup, który ma 2006 krawędzi?