Zadania niespodzianki
dla uczniów klas II gimnazjum

Udowodnić, że jeśli $p$ jest liczbą pierwszą większą niż 1000, to można w jej zapisie wykreślić jedną lub dwie cyfry tak, aby otrzymać liczbę złożoną.

Zapis dziesiętny liczby $5\cdot A $ składa się z 1000 piątek i 1000 szóstek. Znaleźć sumę cyfr liczby $A.$

Na tablicy zapisano 9 kolejnych liczb trzycyfrowych, w zapisie których nie występuje cyfra 0. W każdej liczbie obliczono iloczyn cyfr, a  następnie iloczyny te zsumowano. Czy jest możliwe, aby suma tych iloczynów była  równa 1125?

Znaleźć najmniejszą liczbę pięciocyfrową o różnych cyfrach, która jest podzielna przez 71.

Suma dwóch dzielników liczby 160000 jest równa 1025. Znaleźć te dzielniki.

Liczba sześciocyfrowa dzieli się przez 8. Jaką największą sumę cyfr może ona mieć?

Których liczb pięciocyfrowych jest więcej: parzystych o sumie cyfr 36 czy nieparzystych o sumie cyfr 38?

Najmniejsza wspólna wielokrotność pewnych dwóch liczb naturalnych jest 16 razy większa od największego wspólnego dzielnika tych liczb. Udowodnić, że jedna z tych liczb dzieli się przez drugą.

Pan Piotr pomyślał liczbę naturalną i wyznaczył resztę z dzielenia tej liczby przez 3, 6 i 9. Okazało się, że suma tych eszt jest równa 15. Znaleźć resztę z dzielenia tej liczby przez 18.

W tablicy $3\times 3$ w każdą kratkę wpisano liczbę dodatnią tak, że iloczyn liczb w każdym wierszu i w każdej kolumnie jest równy 1. Natomiast iloczyn liczb w każdym kwadracie o wymiarach $2\times 2$ jest równy 2. Jaką liczbę wpisano w środkową kratkę tablicy?

Na okręgu wypisać 4 jedynki, 3 dwójki i 3 trójki tak, by suma dowolnych trzech kolejnych po okręgu liczb nie była podzielna przez 3.

W trójkącie ostrokątnym $ABC$ poprowadzono środkową $AM$ i wysokość $BH.$ Obliczyć $|BC|,$ jeśli wiadomo, $\text{że }|AH|=1 \text{ i } 2|\angle MAC|=|\angle MCA|$

W czworokącie $ABCD$, mamy $|AB|=|BC|.$ Przedłużenia boków $BA \text{ i } CD$ odpowiednio poza punkty $A \text{ i } D$ przecinają się w punkcie $E,$ a przedłużenia boków $AD \text{ i } BC$ odpowiednio poza punkty $D \text{ i } C$ przecinają się w punkcie $F.$ Wiadomo, że $|BE|=|BF| \text{ i } |\angle DEF|=25^{\circ}.$ Znaleźć $|\angle EFD|.$

Czy można z prostokątów $1\times 1,\; 1\times 2,\; 1\times 3,\; \text{...},\; 1\times 13$ złożyć prostokąt?

Kwadrat o wymiarach $14\times14$ podzielono na kwadraciki jednostkowe. Czy można podzielić ten kwadrat na prostokąty o wymiarach $2\times5 \text{ lub } 3\times 9?$

W czworokącie $ABCD,$ mamy $|AB|=|BC|$, $|CD|=|DA|.$ Punkty $K \text{ i } L$ leżą odpowiednio na bokach $AB \text{ i } BC$, przy czym $|BK|=2\cdot |AK|,$ $|BL|=2\cdot |CL|.$ Punkty $M \text{ i } N$ są odpowiednio środkami boków $CD \text{ i } AD.$ Udowodnić, $\text{że }|KM|=|LN|.$

Liczby 1, 2, 3, 4 należy wpisać w kratki, w każdą kratkę jedną liczbę, kwadratu $4\times 4$ tak, aby w każdym wierszu i w każdej kolumnie i na każdej przekątnej występowały wszystkie liczby.

Mamy 1001 jednakowo wyglądających monet. Wiadomo, że wśród nich jest tylko jedna fałszywa - ma inną wagę od pozostałych. Wyjaśnij przy pomocy dwóch ważeń na wadze szalkowej bez odważników czy moneta fałszywa jest cięższa czy lżejsza od pozostałych monet.

Piotr, Zbyszek i Mirek mają łącznie 100 zadań z pewnego zestawu, przy czym każdy z nich rozwiązał 60 zadań. Zadanie uważamy za "trudne" jeżeli rozwiązał je tylko jeden z chłopców, natomiast zadanie uważamy za "łatwe" jeżeli rozwiązali je wszyscy chłopcy. Pozostałe rozwiązane zadania uważamy za "średnie". Uzasadnij, że zadań trudnych było o 20 więcej niż zadań łatwych.

Wilk i konik grają w następującą grę. Na tablicy jeden z nich pisze liczbę naturalną dodatnią. W każdym następnym ruchu na zmianę kolejno jeden z nich ściera liczbę i wpisuje w to miejsce różnicę startej liczby i wybranej niezerowej "cyfry" zapisu dziesiętnego startej liczby. Wygrywa ten, który na tablicy wpisze liczbę 0. Kto może zapewnić sobie wygraną, jeśli zaczyna wilk od liczby 2007?

Na okręgu mamy 10 punktów. Na zmianę każdy z dwóch chłopców łączy dwa punkty spośród danych odcinkiem. Który z chłopców może zapewnić sobie wygraną, jeśli nie wolno tych samych punktów łączyć ponownie, natomiast odcinki mogą się przecinać, mieć punkty wspólne. Przegrywa ten, który nie może poprowadzić odcinka. Który z chłopców ma strategię wygrywającą?