|
LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU | |||
|
Zadania niespodzianki dla uczniów klas II gimnazjum na zakończenie konkursu 2007/2008 | |||
| Zadanie 1 | |||
| Udowodnić, że jeśli p jest liczba pierwszą większa niż 1000, to można w jej zapisie wykreślić jedną lub dwie cyfry tak, aby otrzymać liczbę złożoną. | |||
| Zadanie 2 | |||
| Zapis dziesiętny liczby 5×A składa się z 1000 piątek i 1000 szóstek. Znaleźć sumę cyfr liczby A. | |||
| Zadanie 3 | |||
| Na tablicy zapisano trzy dwucyfrowe liczby, jedna z nich zaczyna się cyfrą 5, druga cyfrą 6, a trzecia cyfrą 7. Nauczyciel poprosił trzech uczniów, by każdy z nich wybrał sobie dwie z tych liczb i dodał je. Pierwszy uczeń otrzymał 147, natomiast drugi i trzeci otrzymali różne liczby trzycyfrowe zaczynające się cyframi 1, 2. Czy jest to możliwe? | |||
| Zadanie 4 | |||
| Na tablicy zapisano 9 kolejnych liczb trzycyfrowych, w zapisie których nie występuje cyfra 0. W każdej liczbie obliczono iloczyn cyfr, a następnie iloczyny te zsumowano. Czy jest możliwe, aby suma tych iloczynów była równa 1125? | |||
| Zadanie 5 | |||
| Znaleźć najmniejszą liczbę pięciocyfrową o różnych cyfrach, która jest podzielna przez 71. | |||
| Zadanie 6 | |||
| Suma dwóch dzielników liczby160000 jest równa 1025. Znaleźć te dzielniki. | |||
| Rozwiązanie Patryka Dziemianowskigo | |||
| Zadanie 7 | |||
| Liczba sześciocyfrowa dzieli się przez 8. Jaką największą sumę cyfr może ona mieć? | |||
| Zadanie 8 | |||
| Których liczb pięciocyfrowych jest więcej: parzystych o sumie cyfr 36 czy nieparzystych o sumie cyfr 38? | |||
| Zadanie 9 | |||
| Najmniejsza wspólna wielokrotność pewnych dwóch liczb naturalnych jest 16 razy większa od największego wspólnego dzielnika tych liczb. Udowodnić, że jedna z tych liczb dzieli się przez drugą. | |||
| Zadanie 10 | |||
| Pan Piotr pomyślał liczbę naturalną i wyznaczył resztę z dzielenia tej liczby przez 3, 6 i 9. Okazało się, że suma tych reszt jest równa 15. Znaleźć resztę z dzielenia tej liczby przez 18. | |||
| Zadanie 11 | |||
| W tablicy 3×3 w każda kratkę wpisano liczbę dodatnią tak, że iloczyn liczb w każdym wierszu i w każdej kolumnie jest równy 1. Natomiast iloczyn liczb w każdym kwadracie o wymiarach 2×2 jest równy 2. Jaką liczbę wpisano w środkową kratkę tablicy? | |||
| Zadanie 12 | |||
| Na okręgu wypisać 4 jedynki, 3 dwójki i 3 trójki tak, by suma dowolnych trzech kolejnych po okręgu liczb nie była podzielna przez 3. | |||
| Zadanie 13 | |||
| W trójkącie ostrokątnym ABC poprowadzono środkową AM i wysokość BH. Obliczyć |BC|, jeśli wiadomo, że |AH|=1 i 2|ĐMAC|=|ĐMCA| | |||
| Zadanie 14 | |||
| W czworokącie ABCD, mamy |AB|=|BC|. Przedłużenia boków BA i CD odpowiednio poza punkty A i D przecinają się w punkcie E, a przedłużenia boków AD i BC odpowiednio poza punkty D i C przecinają się w punkcie F. Wiadomo, że |BE|=|BF| i |ĐDEF|=25°. Znaleźć |ĐEFD|. | |||
| Rozwiązanie Łukasza Kusińskiego | |||
| Zadanie 15 | |||
| Czy można z prostokątów 1×1, 1×2, 1×3, ..., 1×13 złożyć prostokąt? | |||
| Zadanie 16 | |||
| Kwadrat o wymiarach 14×14 podzielono na kwadraciki jednostkowe. Czy można podzielić ten kwadrat na prostokąty o wymiarach 2×5 lub 3×9? | |||
| Zadanie 17 | |||
| W czworokącie ABCD, mamy |AB|=|BC|, |CD|=|DA|. Punkty K i L leżą odpowiednio na bokach AB i BC, przy czym |BK|=2×|AK|, |BL|=2×|CL|. Punkty M i N są odpowiednio środkami boków CD i AD. Udowodnić, że |KM|=|LN|. | |||
| Zadanie 18 | |||
| Liczby 1, 2, 3, 4 należy wpisać w kratki, w każdą kratkę jedną liczbę, kwadratu 4×4 tak, aby w każdym wierszu i w każdej kolumnie i na każdej przekątnej występowały wszystkie liczby. | |||
| Rozwiązanie Rafała Mossakowskiego | |||
| Zadanie 19 | |||
| Mamy 1001 jednakowo wyglądających monet. Wiadomo, że wśród nich jest tylko jedna fałszywa - ma inną wagę od pozostałych. Wyjaśnij przy pomocy dwóch ważeń na wadze szalkowej bez odważników czy moneta fałszywa jest cięższa czy lżejsza od pozostałych monet.
| |||
| Zadanie 20 | |||
| Piotr, Zbyszek i Mirek mają łącznie 100 zadań z pewnego zestawu, przy czym każdy z nich rozwiązał 60 zadań. Zadanie uważamy za "trudne" jeżeli rozwiązał je tylko jeden z chłopców, natomiast zadanie uważamy za "łatwe "jeżeli rozwiązali je wszyscy chłopcy. Pozostałe rozwiązane zadania uważamy za "średnie". Uzasadnij, że zadań trudnych było o 20 więcej niż zadań łatwych. | |||
| Rozwiązanie Joasi Pabich | |||
| Zadanie 21 | |||
|
Wilk i konik grają w następującą grę. Na tablicy jeden z nich pisze liczbę naturalną dodatnią. W każdym następnym ruchu na zmianę kolejno jeden z nich ściera liczbę i wpisuje w to miejsce różnicę startej liczby i wybranej niezerowej "cyfry" zapisu dziesiętnego startej liczby. Wygrywa ten, który na tablicy wpisze liczbę 0. Kto może zapewnić sobie wygraną, jeśli zaczyna wilk od liczby 2007?
| |||
| Zadanie 22 | |||
| Na okręgu mamy 10 punktów. Na zmianę każdy z dwóch chłopców łączy dwa punkty spośród danych odcinkiem. Który z chłopców może zapewnić sobie wygraną, jeśli nie wolno tych samych punktów łączyć ponownie, natomiast odcinki mogą się przecinać, mieć punkty wspólne. Przegrywa ten, który nie może poprowadzić odcinka. Który z chłopców ma strategię wygrywającą? |
Serdecznie zapraszamy
na uroczyste zakończenie Ligi Zadaniowej
w roku 2007/2008 !