LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU

ZADANIA W ROKU SZKOLNYM 2003/2004

Zadania przygotowawcze do etapu III-go dla uczniów klas VI szkół podstawowych
Tematyka
1. Proste wyrażenia algebraiczne.
2. Zadania tekstowe wymagające znajomości prostych równań i nierówności.
3. Podstawowe figury geometryczne i ich pola.
Zadanie 1
W trójkącie prostokątnym jeden z kątów ostrych jest czterokrotnie mniejszy od drugiego. Oblicz miary tych kątów.

Rozwiązanie Pauliny Bała

Zadanie 2
Rozwiąż równania, a dowiesz się ile jest w Toruniu:
  1. wszystkich zabytków

    -4(x + 5) - 6(x - 50) = -3(3x + 20) - 10

  2. zabytków klasy "0"

    4(x - 7) = 1 + 3(x - 8)

Rozwiązanie Przemka Buczkowskiego

Zadanie 3
W pewnym miesiącu trzy niedziele wypadły w dni parzyste. Jaki dzień tygodnia wypadł dwudziestego dnia tego miesiąca?

Zadanie 4
Na okręgu O obrano cztery punkty: K, L, M, N takie, że |ĐKLM| = 100°, |ĐKLM| = 60°.
Wykonaj rysunek pomocniczy i oblicz miary kątów wewnętrznych czworokąta KNML.

Zadanie 5
Zadanie staroegipskie z rękopisu Rajunda (2000 - 1700 r. przed Chrystusem) przechowywanego w muzeum brytyjskim.

Wyznacz liczbę, jeżeli suma tej liczby i jej dwu trzecich części zmniejszona o trzecią część tej sumy jest równa 100.

Zadanie 6
Wewnątrz kwadratu leży mniejszy kwadrat. Boki obu kwadratów są odpowiednio równoległe. Wierzchołki kwadratów połączono tak jak na rysunku, tworząc cztery trapezy. Wykaż, że suma pól zacieniowanych trapezów jest równa sumie pól pozostałych trapezów.

Zadanie 7
Książka zawiera x stronic. Na każdej jest y wierszy, a w każdym wierszu z liter. W drugim wydaniu tej samej książki zmieniono wymiary druku tak, że w każdym wierszu zmieściło się a liter, a na każdej stronie b wierszy. Ile stron zawierało drugie wydanie tej książki?

Zadanie 8
Pole pewnego kwadratu jest nie mniejsze od pola prostokąta, którego jeden z boków jest o 7 cm dłuższy, a drugi o 3 cm krótszy od boku kwadratu. Jaka może być największa długość boku tego kwadratu?

Zadanie 9
Turysta miał do przebycia 80 km. Pierwszego dnia przebył 60% tego, co dnia drugiego, a trzeciego dnia przebył mniej niż całej drogi. Jakie odcinki drogi mógł przebyć turysta każdego dnia?

Zadanie 10
Po skreśleniu ostatniej cyfry liczby całkowitej dodatniej otrzymano liczbę 14 razy mniejszą. Podaj wszystkie liczby o tej własności.

Zadanie 11
Pewien tyran rzekł do rycerza (matematyka młodego):

"Masz szansę uwolnić uwięzioną w baszcie królewnę i uratować swoje życie, jeśli odgadniesz trzy liczby jednocyfrowe a, b, c, które ja pomyślę. Aby ułatwić Ci walkę o uwolnienie królewny i swoje życie, proponuje byś podał mi trzy liczby x, y, z, ja zaś podam Ci wartość wyrażenia ax+by+cz."

Czy młody rycerz-matematyk ma szansę uwolnić królewnę i uratować swoje życie?

Zadanie 12
Płytkę o wymiarach 60 cm na 85 cm obrysowano ołówkiem na kartce papieru. Znajdź środek otrzymanego prostokąta posługując się tylko płytką i ołówkiem.

Zadanie 13
Czy istnieje prostokąt, którego długości dwóch boków wynoszą odpowiednio i  długości obwodu tego prostokąta?

Rozwiązanie Mateusza Kozłowskiego

Zadanie 14
Znajdź wszystkie liczby czterocyfrowe postaci wiedząc, że są one podzielne przez 3 i takie, że a, c, d są kolejnymi liczbami parzystymi.

( oznacza zapis dziesiętny liczby, to znaczy: a jest cyfrą tysięcy, b -cyfrą setek, c - cyfrą dziesiątek i d - cyfrą jedności.)

Rozwiązanie Łukasza Łenskiego

Zadanie 15
Liczbę a zmniejszono o 15%, a następnie tak otrzymaną liczbę zwiększono o 15%. Czy otrzymana liczba jest większa, równa czy mniejsza od liczby a?

Rozwiązanie Ani Ługiewicz

Zadanie 16
Suma dwóch liczb jest równa 51. Jeżeli w większym składniku skreślimy jedna cyfrę, to otrzymamy drugi składnik. Jakie to liczby?

Zadanie 17
Czy można w miejsce gwiazdek wpisać liczby tak, aby w ciągu 10 liczb:

1, *, *, *, 7, *, *, *, 5, *

suma każdych trzech liczb była jednakowa?

Zadanie 18
Jeżeli podzielimy 100 przez p, to otrzymamy m i resztę 6. Oblicz p i m.

Zadanie 19
W trójkącie prostokątnym ABC, z kątem prostym przy wierzchołku C, poprowadzono wysokość CH. Wyznacz miary kątów tego trójkąta, jeśli wiadomo, że |HB| - |AH| = |AC|.

Zadanie 20
W koszyku jest 20 grzybów. Są to prawdziwki, kozaki i podgrzybki. Ile jest w nim prawdziwków, jeśli kozaków jest 9 razy więcej niż podgrzybków?

Rozwiązanie Eweliny Rudnickiej

Zadanie 21
Prostokąt o bokach długości 8 cm i 18 cm podziel wzdłuż linii prostych na dwie części tak, aby można było utworzyć z nich kwadrat.?

Rozwiązanie Hani Słupkiej

Zadanie 22
Czy istnieje trójkąt o wysokościach długości 6 m, 3 cm i 2 cm?

Zadanie 23
Czy liczby naturalne a i b mogą być nieparzyste, jeśli ?

Zadanie 24
Do restauracji dostarczono zamówionych produktów, dodatkowo w południe 15% zamówionych produktów, a wieczorem 90 kg więcej niż w południe. Ile kilogramów produktów zamówiła restauracja?

Rozwiązanie Mikołaja Szymańskiego

Zadanie 25
Oblicz miary kątów wewnętrznych trójkąta, jeżeli wiadomo, że jeden kąt jest 1,5 razy większy od drugiego, a trzeci jest równy sumie dwóch pozostałych kątów.

Zadanie 26
Czy istnieje graniastosłup, który ma 2004 krawędzie?

Zadanie 27
Po parku jeżdżą dzieci na rowerkach 2-kołowych i 3-kołowych. Naliczyłem 7 dzieci i 19 kółek. Ile dzieci jechało na rowerkach 2-kołowych, a ile na 3-kołowych?