Zadania przygotowawcze
do etapu III-go dla uczniów klas I gimnazjum

W trójkącie równoramiennym jeden z kątów zewnętrznych jest równy $110^{\circ}.$ Wyznacz kąty wewnętrzne tego trójkąta.

Wielokąt $ABCDE$ jest pięciokątem foremnym. $P$ jest takim punktem wewnątrz pięciokąta, że trójkąt $ABP$ jest równoboczny. Jaka jest miara kąta $PDE?$

Wśród wszystkich prostokątów o obwodzie 40 cm wyznacz ten, który ma największe pole.

Zbyszek mówi do Piotra: Mam 3  razy więcej lat niż ty miałeś wtedy gdy ja miałem tyle lat co ty masz teraz. Kiedy osiągniesz mój wiek, będziemy mieli łącznie 112 lat. Ile lat ma Piotr?

Oto zadanie historyczne, liczące 4000 lat, zapisane na tzw. Papirusie Rhinda odnalezionym we wnętrzu jednej z piramid w roku 1853.

Która podwyżka ceny jest większa: jednorazowa o 90%, czy trzykrotna po 25%?

Pole pewnego rombu jest równe $3a^2+ab$, a jedna z przekątnych ma długość $2a.$ Znajdź długość drugiej przekątnej.

1. Ile soli należy dosypać do 6 kg wody, aby otrzymać solankę czteroprocentową?
2. Ile wody należy dolać do 2 kg pięcioprocentowej solanki, aby otrzymać solankę dwuprocentową?
3. Ile soli należy dosypać do 9 kg pięcioprocentowej solanki, aby otrzymać roztwór dziesięcioprocentowy.

Cztery lata temu byłem cztery razy młodszy od mamy, a dziesięć lat temu byłem od niej młodszy dziesięć razy. Ile lat ma autor tej wypowiedzi?

1. Jaką cyfrę można wpisać między cyfry licznika i mianownika $\text{ułamka } \frac{16}{32}$, aby wartość otrzymanego ułamka nadal była równa $\frac{1}{2}$?
2. Jaką cyfrę można wpisać między cyfry licznika i mianownika ułamka $\text{ułamka } \frac{16}{64}$, aby wartość otrzymanego ułamka nadal była równa $\frac{1}{4}$?

Andrzej może zjeść mały tort w 10 minut, babkę - w ciągu 8 minut, a butelkę mleka wypija w ciągu 15 minut. Tomek umie te same "czynności" wykonać odpowiednio w ciągu 2, 3 i 4 minut. W jakim czasie mogą oni spożyć tort, babkę i wypić butelkę mleka czyniąc to wspólnie?

Trzy tuziny guzików kosztują tyle złotych, ile można kupić takich guzików za 64 złote. Ile kosztuje tuzin guzików?

Jedna z liczb jest większa od drugiej o  406. Jeżeli podzielimy większą liczbę przez mniejszą, to otrzymamy 6 i resztę 66. Wyznacz te liczby.

• Która teraz jest godzina? - pyta Michał ojca.
• A policz: do końca doby pozostało trzy razy mniej czasu niż upłynęło od jej początku.

Która jest teraz godzina?

Do zbiornika dopływa woda czterema rurami. Gdyby dopływała tylko pierwszą rurą zbiornik napełniłby się w ciągu jednego dnia, tylko drugą rurą - w ciągu dwóch dni, trzecią w ciągu trzech dni, a czwartą w ciągu czterech dni. Oblicz po jakim czasie napełni się zbiornik gdy woda będzie dopływać jednocześnie czterema rurami?

Dwaj uczniowie, wysoki i niski, wyszli jednocześnie z tego samego domu do szkoły. Jeden z nich miał krok o 20% krótszy od kroku drugiego ucznia, ale za to zdążył zrobić w tym samym czasie o 20% kroków więcej. Który z nich wcześniej przybył do szkoły?

Spośród prostokątów o polu 25 cm² wyznacz ten, który ma najmniejszy obwód.

Dziewięć jednakowych książek kosztuje mniej niż 1000 zł, a dziesięć takich książek kosztuje więcej niż 1100 zł. Ile kosztuje jedna książka?

Z podanych wzorów wyznacz kolejne zmienne:

1. $ax+by = c$
2. $S=\pi rl$
3. $P=\frac{a\cdot h}{2}$
4. $\frac{1}{f}=\frac{f_1+f_2}{f_1\cdot f_2}$
5. $\frac{a}{b-2}=\frac{c}{b+2}$
6. $R=\frac{r_1\cdot r_2}{r_1+ r_2}$
7. $ S=\frac{(a+b)\cdot h}{2}$
8. $ S=\frac{(a+b)\cdot h}{2}$
9. $ F= G\cdot \frac{M\cdot m}{r^2}$
10. $s= v\cdot t + \frac{a\cdot t^2}{2}$

Która liczba jest większa, $\frac{1}{123456}\frac{1}{123459}$ czy $\frac{1}{123457}\frac{1}{123458}$?

Statystycznie półtora kota zjada półtorej myszy w ciągu półtora dnia. Ile myszy zje siedem kotów w ciągu tygodnia?

Pięć pająków łapie 5 much w ciągu 5 godzin. Ile much łapie sto pająków w ciągu stu godzin?

Podaj miarę kąta wewnętrznego:

1. sześciokąta foremnego,
2. ośmiokąta foremnego,
3. osiemnastokąta foremnego,
4. stukąta foremnego.

Kąt wewnętrzny pewnego wielokąta foremnego ma $150^{\circ}.$ Ile boków ma ten wielokąt? Czy istnieje wielokąt foremny o kącie wewnętrznym $130^{\circ}?$

Jeden z kątów pewnego trapezu wpisanego w okrąg ma miarę $50^{\circ}.$ Oblicz miary pozostałych kątów tego trapezu.

Znaleźć pole części wspólnej deltoidów $ACDE$ i $ABDF$, gdzie $A,\;B,\;C,\;D,\;E,\;F$ są kolejnymi wierzchołkami sześciokąta foremnego o boku $a.$