LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU ZADANIA W ROKU SZKOLNYM 2006/2007

Zadania niespodzianki dla uczniów klas II gimnazjum na zakończenie konkursu 2006/2007

Zadanie 1

Udowodnij, że jeśli w trójkącie miara każdego kąta jest większa od 59°, to jest ona jednocześnie mniejsza od 62°.

Zadanie 2

Dane są okręgi zewnętrznie rozłączne. Wyznaczyć zbiór punktów takich, że dowolna prosta przechodząca przez taki punkt ma punkty wspólne z co najmniej jednym z tych okręgów.

Rozwiązanie Karola Romanowskiego

Zadanie 3

Czy można prostokąt o wymiarach 55×39 pociąć na prostokąty o wymiarach 5×11?

Rozwiązanie Tomka Różyńskiego

Zadanie 4

W kwadracie ABCD punkty M, N, P, Q leżą odpowiednio na bokach AB, BC, CD i DA tak, że odcinki MP i NQ są prostopadłe. Udowodnić, że suma obwodów czworokątów AMOQ i CNOP jest równa sumie obwodów czworokątów BNOM i DQOP, gdzie O jest punktem przecięcia odcinków MP i NQ.

Zadanie 5

Niech M będzie środkiem boku BC w trójkącie ABC, zaś N jest środkiem środkowej AM. Prosta CN przecina bok AB w punkcie K. Wyznaczyć .

Rozwiązanie Pawła Sołtysińskiego

Zadanie 6

W trójkącie równobocznym ABC poprowadzono odcinki AD i BE, przy czym D leży na boku BC zaś E leży na boku AC. Odcinki AD i BE przecinają się w punkcie O. Wyznaczyć miarę kąta AOE, jeśli wiadomo, że pole trójkąta ABO jest równe polu czworokąta CEOD.

Zadanie 7

Wiadomo, że w trapez można wpisać okrąg. Na ramionach tego trapezu jako na średnicach konstruujemy okręgi. Pokazać, że są one styczne zewnętrznie.

Rozwiązanie Marcina Swół

Zadanie 8

Do dwóch okręgów przecinających się w punktach M i K prowadzimy wspólną styczną. Niech A i B będą punktami styczności tych okręgów i stycznej. Uzasadnić, że |ĐAMB| + |ĐAKB| = 180°.

Rozwiązanie Dagmary Wawrzyniak

Zadanie 9

Na płaszczyźnie danych jest 2007 punktów i okrąg o promieniu 1. Udowodnić, że na okręgu istnieje taki punkt, że suma jego odległości od danych punktów jest większa od 2007.

Zadanie 10

Zapis dziesiętny liczby trzycyfrowej zaczyna się cyfrą 7. Cyfrę tę przenosimy na koniec zapisu. Otrzymana liczba jest o 117 mniejsza od liczby wyjściowej. Od jakiej liczby wystartowaliśmy?

Rozwiązanie Roberta Wiśniewskiego

Zadanie 11

Wyznaczyć wszystkie liczby naturalne, które są równe potrójnej sumie swoich cyfr.

Rozwiązanie Michała Wodzyńskiego

Zadanie 12

Wyznaczyć najmniejszą liczbę naturalną podzielną przez 41, która przy dzieleniu przez 39 ma resztę 24.

Rozwiązanie Alberta Wolanta

Zadanie 13

O liczbach m, n wiadomo, że m2 + mn + 1 jest dzielnikiem liczby n2 + mn + 1. Pokazać, że m = n.

Zadanie 14

Mamy 2007 liczb dodatnich. Iloczyn każdych 17 liczb spośród nich jest większy od 1. Udowodnić, że iloczyn wszystkich tych liczb jest większy od 1.

Zadanie 15

Uzasadnić, że jeśli a, b są liczbami takimi, że a + b > 2, to a4 + b4 > 2.

Zadanie 16

Pokazać, że jeśli liczby dodatnie a, b spełniają warunek ab > a + b, to a + b > 4.

Zadanie 17

Uzasadnić, że jeśli iloczyn liczb dodatnich a, b, c jest równy 1, to .

Zadanie 18

Liczby 1, 2, 3, 4 należy wpisać w kratki, w każdą kratkę jedną liczbę, kwadratu 4×4 tak, aby w każdym wierszu i w każdej kolumnie i na każdej przekątnej występowały wszystkie liczby.

Zadanie 19

Mamy 1001 jednakowo wyglądających monet. Wiadomo, że wśród nich jest tylko jedna fałszywa - ma inną wagę od pozostałych. Wyjaśnij przy pomocy dwóch ważeń na wadze szalkowej bez odważników czy moneta fałszywa jest cięższa czy lżejsza od pozostałych monet.

Zadanie 20

Piotr, Zbyszek i Mirek mają łącznie 100 zadań z pewnego zestawu, przy czym każdy z nich rozwiązał 60 zadań. Zadanie uważamy za "trudne" jeżeli rozwiązał je tylko jeden z chłopców, natomiast zadanie uważamy za "łatwe "jeżeli rozwiązali je wszyscy chłopcy. Pozostałe rozwiązane zadania uważamy za "średnie". Uzasadnij, że zadań trudnych było o 20 więcej niż zadań łatwych.

Zadanie 21

Wilk i konik grają w następującą grę. Na tablicy jeden z nich pisze liczbę naturalną dodatnią. W każdym następnym ruchu na zmianę kolejno jeden z nich ściera liczbę i wpisuje w to miejsce różnicę startej liczby i wybranej niezerowej "cyfry" zapisu dziesiętnego startej liczby. Wygrywa ten, który na tablicy wpisze liczbę 0. Kto może zapewnić sobie wygraną, jeśli zaczyna wilk od liczby 2007?

Zadanie 22

Na okręgu mamy 10 punktów. Na zmianę każdy z dwóch chłopców łączy dwa punkty spośród danych odcinkiem. Który z chłopców może zapewnić sobie wygraną, jeśli nie wolno tych samych punktów łączyć ponownie, natomiast odcinki mogą się przecinać, mieć punkty wspólne. Przegrywa ten, który nie może poprowadzić odcinka. Który z chłopców ma strategię wygrywającą?

Serdecznie zapraszamy
na uroczyste zakończenie Ligi Zadaniowej
w roku 2006/2007 !