Zadania niespodzianki
dla uczniów klas II gimnazjum

Udowodnij, że jeśli w trójkącie miara każdego kąta jest większa $\text{od } 59^{\circ},$ to jest ona jednocześnie mniejsza $\text{od } 62^{\circ}.$

Dane są okręgi zewnętrznie rozłączne. Wyznaczyć zbiór punktów takich, że dowolna prosta przechodząca przez taki punkt ma punkty wspólne z co najmniej jednym z tych okręgów.

W kwadracie $ABCD$ punkty $M, N, P, Q$ leżą odpowiednio na bokach $AB,$ $BC,$ $CD$ $\text{i} DA$ tak, że odcinki $MP\text{ i } NQ$ są prostopadłe.
Udowodnić, że suma obwodów czworokątów $AMOQ\text{ i } CNOP$ jest równa sumie obwodów czworokątów $BNOM\text{ i } DQOP,$ gdzie $O$ jest punktem przecięcia odcinków $MP\text{ i } NQ.$

Niech $M$ będzie środkiem boku $BC$ w trójkącie $ABC,$ zaś $N$ jest środkiem środkowej $AM.$ Prosta $CN$ przecina bok $AB$ w punkcie $K.$ Wyznaczyć $\frac{|AK|}{|KB|}.$

W trójkącie równobocznym $ABC$ poprowadzono odcinki $AD\text{ i } BE,$ przy czym $D$ leży na boku $BC$ zaś $E$ leży na boku $AC.$ Odcinki $AD\text{ i } BE$ przecinają się w punkcie $O.$ Wyznaczyć miarę kąta $AOE,$ jeśli wiadomo, że pole trójkąta $ABO$ jest równe polu czworokąta $CEOD.$

Wiadomo, że w trapez można wpisać okrąg. Na ramionach tego trapezu jako na średnicach konstruujemy okręgi. Pokazać, że są one styczne zewnętrznie.

Do dwóch okręgów przecinających się w punktach $M\text{ i } K$ prowadzimy wspólną styczną. Niech $A\text{ i } B$ będą punktami styczności tych okręgów i stycznej. Uzasadnić, że $|\angle AMB| + |\angle AKB| = 180^{\circ}.$

Na płaszczyźnie danych jest 2007 punktów i okrąg o promieniu 1. Udowodnić, że na okręgu istnieje taki punkt, że suma jego odległości od danych punktów jest większa od 2007.

Zapis dziesiętny liczby trzycyfrowej zaczyna się cyfrą 7. Cyfrę tę przenosimy na koniec zapisu. Otrzymana liczba jest o 117 mniejsza od liczby wyjściowej. Od jakiej liczby wystartowaliśmy?

Wyznaczyć wszystkie liczby naturalne, które są równe potrójnej sumie swoich cyfr.

Wyznaczyć najmniejszą liczbę naturalną podzielną przez 41, która przy dzieleniu przez 39 ma resztę 24

O liczbach $m,\; n$ wiadomo, że $m^2 + mn + 1$ jest dzielnikiem liczby $n^2 + mn + 1.$
Pokazać, że $m = n.$

Mamy 2007 liczb dodatnich. Iloczyn każdych 17 liczb spośród nich jest większy od 1. Udowodnić, że iloczyn wszystkich tych liczb jest większy od 1.

Uzasadnić, że jeśli $a,\; b$ są liczbami takimi, że $a + b \gt 2,$ to $a^4 + b^4 \gt 2.$

Pokazać, że jeśli liczby dodatnie $a,\; b$ spełniają warunek $ab \gt a + b,$ to $a + b \gt 4.$

Uzasadnić, że jeśli iloczyn liczb dodatnich $a,\; b,\; c$ jest równy 1, to $\frac{1}{1+a+ab}+\frac{1}{1+b+bc}+\frac{1}{1+c+ca}=1$.

Liczby 1, 2, 3, 4 należy wpisać w kratki, w każdą kratkę jedną liczbę, kwadratu $4\times 4$ tak, aby w każdym wierszu i w każdej kolumnie i na każdej przekątnej występowały wszystkie liczby.

Mamy 1001 jednakowo wyglądających monet. Wiadomo, że wśród nich jest tylko jedna fałszywa - ma inną wagę od pozostałych. Wyjaśnij przy pomocy dwóch ważeń na wadze szalkowej bez odważników czy moneta fałszywa jest cięższa czy lżejsza od pozostałych monet.

Piotr, Zbyszek i Mirek mają łącznie 100 zadań z pewnego zestawu, przy czym każdy z nich rozwiązał 60 zadań. Zadanie uważamy za "trudne" jeżeli rozwiązał je tylko jeden z chłopców, natomiast zadanie uważamy za "łatwe" jeżeli rozwiązali je wszyscy chłopcy. Pozostałe rozwiązane zadania uważamy za "średnie". Uzasadnij, że zadań trudnych było o 20 więcej niż zadań łatwych.

Wilk i konik grają w następującą grę. Na tablicy jeden z nich pisze liczbę naturalną dodatnią. W każdym następnym ruchu na zmianę kolejno jeden z nich ściera liczbę i wpisuje w to miejsce różnicę startej liczby i wybranej niezerowej "cyfry" zapisu dziesiętnego startej liczby. Wygrywa ten, który na tablicy wpisze liczbę 0. Kto może zapewnić sobie wygraną, jeśli zaczyna wilk od liczby 2007?

Na okręgu mamy 10 punktów. Na zmianę każdy z dwóch chłopców łączy dwa punkty spośród danych odcinkiem. Który z chłopców może zapewnić sobie wygraną, jeśli nie wolno tych samych punktów łączyć ponownie, natomiast odcinki mogą się przecinać, mieć punkty wspólne. Przegrywa ten, który nie może poprowadzić odcinka. Który z chłopców ma strategię wygrywającą?