Zadania przygotowawcze
do etapu III-go dla uczniów klas II gimnazjum

Wyznaczyć stosunek pól kwadratu i ośmiokąta foremnego, wpisanych w okrąg o promieniu $r.$

Wyznaczyć pole i obwód trójkąta prostokątnego, w którym długość promienia okręgu wpisanego wynosi 8 cm, a długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie jest równa 20 cm.

Niech punkt $(0, 0)$ będzie środkiem kwadratu, a punkt $(1, 3)$ niech będzie jednym z jego wierzchołków. Wyznaczyć pozostałe wierzchołki tego kwadratu oraz jego pole i obwód.

Dany jest trójkąt równoramienny, w którym podstawa ma długość 24 cm, a ramię jest długości 15 cm. Obliczyć odległość między środkami okręgu wpisanego w ten trójkąt i okręgu opisanego na tym trójkącie.

Oblicz pole i obwód sześciokąta foremnego, którego środek znajduje się w punkcie $(1, 1),$ a jednym z jego wierzchołków jest punkt $(1, 5).$ Wyznacz pozostałe wierzchołki tego sześciokąta.

Ile jest liczb naturalnych nieparzystych jedenastocyfrowych, z których każda jest podzielna przez 9 i w jej zapisie dziesiętnym występują jedynie cyfry 0 i 5?

Wyznaczyć stosunek pól kwadratu i ośmiokąta foremnego, wpisanych w okrąg o promieniu 6 cm.

W rombie $ABCD$ dane są wierzchołki $A=(-1; 3)\text{ i } C=(-1, 5).$ Wyznaczyć współrzędne wierzchołków $B\text{ i } D$ wiedząc, że pole tego rombu jest równe 24.

Czy zbiór punktów {(1,1), (5,1), (1,5)} ma osie symetrii? Jeśli tak, to wyznacz równania wszystkich osi symetrii tego zbioru. Czy powyższy zbiór ma środki symetrii? Wyznacz współrzędne wszystkich środków symetrii tego zbioru, o ile istnieją.

Wierzchołkami czworokąta $ABCD$ są punkty $A = (-4, 0),$ $B = (6, 0),$ $C = (2, 3)$ $\text{i } D = (-4, 3).$ Niech $A_1B_1C_1D_1$ będzie obrazem czworokąta $ABCD$ w symetrii osiowej względem osi $OY.$ Wyznacz pole i obwód części wspólnej czworokątów $ABCD \text{ i } A_1B_1C_1D_1$

Dany jest trójkąt OAB, gdzie $A = (4, 0),$ $B = (0, 4),$ $O = (0, 0).$ Niech $A_1$ będzie obrazem punktu $A$ w symetrii osiowej względem prostej $OB,$ $B_1$ obrazem punktu $B$ w symetrii osiowej względem prostej $OA$ \text{i } $\text{i }O_1$ obrazem punktu $O$ w symetrii osiowej względem prostej $AB.$ Wyznacz pole trójkąta $O_1A_1B_1.$

Środkiem symetrii sześciokąta foremnego jest punkt $(0, 0),$ a jednym z jego wierzchołków jest punkt $(0, 6).$ Wyznacz pozostałe wierzchołki tego sześciokąta oraz oblicz jego pole i obwód.

Środkiem symetrii kwadratu jest punkt $(0, 0),$ a jednym z jego wierzchołków jest punkt $(4, 2).$ Wyznacz pozostałe wierzchołki tego kwadratu oraz jego pole i obwód.

Wyznaczyć pole i obwód sześciokąta foremnego, na którym można opisać okrąg o promieniu 10 cm.

Wyznacz pole i obwód trójkąta prostokątnego jeśli wiadomo, że promień okręgu wpisanego w ten trójkąt ma 4 cm, a promień okręgu opisanego na tym trójkącie ma 10 cm długości.

Wyznacz odległość między środkami okręgu wpisanego i okręgu opisanego na trójkącie o bokach długości 10 cm, 10 cm i 16 cm.

Czy na płaszczyźnie z układem współrzędnych istnieje trójkąt równoboczny, którego wszystkie wierzchołki mają współrzędne będące liczbami całkowitymi? Rozważ ten sam problem dla kwadratu i sześciokąta foremnego.

Oblicz odległość między środkami okręgu wpisanego i opisanego na trójkącie prostokątnym, którego przyprostokątne mają długości 20 cm i 15 cm.

Uzasadnij, że w trójkącie prostokątnym suma długości przyprostokątnych jest równa sumie średnic okręgu wpisanego w ten trójkąt i okręgu opisanego na tym trójkącie.

W trójkącie prostokątnym $ABC$ o kącie prostym przy wierzchołku $C$ poprowadzono wysokość $CD.$ Niech $r_1$ będzie promieniem okręgu wpisanego w trójkąt $ADC,$ $r_2$ - promieniem okręgu wpisanego w trójkąt $BDC,$ $r$ - promieniem okręgu wpisanego w trójkąt $ABC,$ $\text {zaś }h = |CD|.$ Udowodnij, że $r_1 + r_2 + r = h.$

Wyznacz pole trójkąta prostokątnego, jeśli wiadomo, że promień okręgu wpisanego w ten trójkąt ma 2 cm, a promień okręgu opisanego na tym trójkącie ma 5 cm.

Wyznacz kąty trójkąta prostokątnego $ABC,$ jeśli $|BH| - |HA| = |AC|,$ gdzie odcinek $CH$ jest wysokością opuszczoną z wierzchołka kąta prostego $C.$

W czworokącie $ABCD$ kąty wewnętrzne przy wierzchołkach $B\text{ i } D$ są proste oraz $|AB| = |BC|.$ Wyznacz pole tego czworokąta przyjmując, że odległość wierzchołka $B$ od prostej $AD$ $\text{jest równa }h.$

Niech $a_n$ będzie długością boku $n$-kąta foremnego wpisanego w okrąg o promieniu $R.$ Uzasadnij, że $a^2_{2n}=2R^2-2R\cdot \sqrt{R^2-\frac{1}{4}\cdot a^2_{n}}$ .