|
LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU | |||
|
Zadania przygotowawcze do etapu III-go dla uczniów klas II gimnazjum | |||
|
Tematyka: 1. Twierdzenie Pitagorasa z zastosowaniami. 2. Wielokąty foremne. 3. Okrąg opisany na trójkącie i okrąg wpisany w trójkąt. 4. Symetrie w układzie współrzędnych. | |||
| Zadanie 1 | |||
| Wyznaczyć stosunek pól kwadratu i ośmiokąta foremnego, wpisanych w okrąg o promieniu r. | |||
| Zadanie 2 | |||
| Wyznaczyć pole i obwód trójkąta prostokątnego jeśli wiadomo, że promień okręgu wpisanego w ten trójkąt ma długość 8 cm, a promień okręgu opisanego na tym trójkącie jest długości 20 cm. | |||
| Rozwiązanie Kamila Brożyny | |||
| Zadanie 3 | |||
| Niech punkt (0; 0) będzie środkiem kwadratu, a punkt (1; 3) niech będzie jednym z jego wierzchołków. Wyznaczyć pozostałe wierzchołki tego kwadratu oraz jego pole i obwód.
| |||
| Rozwiązanie Magdy Ekert | |||
| Zadanie 4 | |||
| Dany jest trójkąt równoramienny, w którym podstawa ma długość 24 cm, a ramię jest długości 15 cm. Obliczyć odległość między środkami okręgu wpisanego w ten trójkąt i okręgu opisanego na tym trójkącie.
| |||
| Zadanie 5 | |||
| Oblicz pole i obwód sześciokąta foremnego, którego środek znajduje się w punkcie (1; 1), a jednym z jego wierzchołków jest punkt (1; 5). Wyznacz pozostałe wierzchołki tego sześciokąta.
| |||
| Zadanie 6 | |||
| Ile jest liczb naturalnych nieparzystych jedenastocyfrowych, z których każda jest podzielna przez 9 i w jej zapisie dziesiętnym występują jedynie cyfry 0 i 5 ?
| |||
| Rozwiązanie Michała Kęder | |||
| Zadanie 7 | |||
|
Wyznaczyć pole i obwód sześciokąta foremnego, w który można wpisać okrąg o promieniu 6 cm. | |||
| Rozwiązanie Marcina Kopczyńskiego | |||
| Zadanie 8 | |||
| W rombie ABCD dane są wierzchołki A = (-1; 3) i C = (-1, 5). Wyznaczyć współrzędne wierzchołków B i D wiedząc, że pole tego rombu jest równe 24. | |||
| Rozwiązanie Agaty Kozińskiej | |||
| Zadanie 9 | |||
| Czy zbiór {(1; 1), (5; 1), (1; ,5)} ma osie symetrii? Jeśli tak, to wyznacz równania wszystkich osi symetrii tego zbioru. Czy powyższy zbiór ma środki symetrii? Wyznacz współrzędne wszystkich środków symetrii tego zbioru, o ile istnieją.
| |||
| Zadanie 10 | |||
| Wierzchołkami czworokąta ABCD są punkty A = (-4; 0), B = (6; 0), C = (2; 3) i D = (-4; 3). Niech A1B1C1D1 będzie obrazem czworokąta ABCD w symetrii osiowej względem osi OY. Wyznacz pole i obwód części wspólnej czworokątów ABCD i A1B1C1D1 | |||
| Zadanie 11 | |||
| Dany jest trójkąt OAB, gdzie A = (4; 0), B = (0; 4), O = (0; 0). Niech A1 będzie obrazem punktu A w symetrii osiowej względem prostej OB, B1 obrazem punktu B w symetrii osiowej względem prostej OA i O1 obrazem punktu O w symetrii osiowej względem prostej AB. Wyznacz pole trójkąta O1A1B1. | |||
| Zadanie 12 | |||
| Środkiem symetrii sześciokąta foremnego jest punkt (0; 0), a jednym z jego wierzchołków jest punkt (0; 6). Wyznacz pozostałe wierzchołki tego sześciokąta oraz oblicz jego pole i obwód.
| |||
| Zadanie 13 | |||
| Środkiem symetrii kwadratu jest punkt (0; 0), a jednym z jego wierzchołków jest punkt (4; 2). Wyznacz pozostałe wierzchołki tego kwadratu oraz jego pole i obwód. | |||
| Zadanie 14 | |||
| Wyznaczyć pole i obwód sześciokąta foremnego, na którym można opisać okrąg o promieniu 10 cm. | |||
| Zadanie 15 | |||
| Wyznacz pole i obwód trójkąta prostokątnego jeśli wiadomo, że promień okręgu wpisanego w ten trójkąt ma 4 cm, a promień okręgu opisanego na tym trójkącie ma 10 cm długości. | |||
| Rozwiązanie Michała Pośpiecha | |||
| Zadanie 16 | |||
| Wyznacz odległość między środkami okręgu wpisanego i okręgu opisanego na trójkącie o bokach długości 10 cm, 10 cm i 16 cm.
| |||
| Zadanie 17 | |||
| Czy na płaszczyźnie z układem współrzędnych istnieje trójkąt równoboczny, którego wszystkie wierzchołki maja współrzędne będące liczbami całkowitymi? Rozważ ten sam problem dla kwadratu i sześciokąta foremnego.
| |||
| Zadanie 18 | |||
| Oblicz odległość między środkami okręgu wpisanego i opisanego na trójkącie prostokątnym, którego przyprostokątne mają długości 20 cm i 15 cm. | |||
| Rozwiązanie Magdy Ryczkowskiej | |||
| Zadanie 19 | |||
| Uzasadnij, że w trójkącie prostokątnym suma długości przyprostokątnych jest równa sumie średnic okręgu wpisanego w ten trójkąt i okręgu opisanego na tym trójkącie.
| |||
| Zadanie 20 | |||
| W trójkącie prostokątnym ABC o kącie prostym przy wierzchołku C poprowadzono wysokość CD. Niech r1 będzie promieniem okręgu wpisanego w trójkąt ADC, | |||
| Zadanie 21 | |||
| Wyznacz pole trójkąta prostokątnego, jeśli wiadomo, że promień okręgu wpisanego w ten trójkąt ma 2 cm, a promień okręgu opisanego na tym trójkącie ma 5 cm.
| |||
| Zadanie 22 | |||
| Wyznacz kąty trójkąta prostokątnego ABC, jeśli |BH| - |HA| = |AC|, gdzie odcinek CH jest wysokością opuszczoną z wierzchołka kąta prostego C.
| |||
| Rozwiązanie Pawła Sobocińskiego | |||
| Zadanie 23 | |||
| W czworokącie ABCD kąty wewnętrzne przy wierzchołkach B i D są proste oraz |AB| = |BC|. Wyznacz pole tego czworokąta przyjmując, że odległość wierzchołka B od boku AD jest równa h.
| |||
| Zadanie 24 | |||
| Niech an będzie długością boku Uzasadnij, że  .
|