Zadania przygotowawcze
do etapu III-go dla uczniów klas VI szkół podstawowych

Suma miar kątów, wpisanego i środkowego, opartych na tym samym łuku wynosi $69^{\circ}.$ Oblicz miarę każdego z tych kątów.

Wierzchołki trójkąta o bokach długości 6 cm, 8 cm i 10 cm leżą na okręgu o promieniu 5 cm. Oblicz pole tego trójkąta.

W okręgu o środku w punkcie $O$, dane są miary kątów środkowych: $|\angle AOB|=70^{\circ}$, $|\angle BOC|=40^{\circ}.$ Oblicz miary kątów wewnętrznych trójkąta $ABC.$

W okręgu o środku w punkcie $O$, dane są miary kolejnych kątów środkowych: $|\angle AOB|=70^{\circ}$, $|\angle BOC|=100^{\circ}$, $|\angle COD|=60^{\circ}.$
Oblicz miary kątów wewnętrznych czworokąta $ABCD$ oraz miary kątów jakie tworzą jego boki z przekątną $AC.$

Liczba trzycyfrowa ma w przędzie jedności cyfrę $x$, w przędzie dziesiątek ma cyfrę o 2 większą, a w rzędzie setek cyfrę równą sumie cyfry jedności i cyfry dziesiątek. Znajdź wszytkie takie liczby.

Ile czasu potrzebuje motorówka na przebycie drogi od miasta $A$ do miasta $B$ i z powrotem o długości $s\text{ km}$, jeżeli prędkość własna motorówki jest równa $a\text{ km/h}$, a prędkość rzeki $b\text{ km/h}?$

Książka zawiera $x$ stronnic, na każdej stronnicy $y$ wierszy, a w każdym wierszu $z$ liter. W drugim wydaniu tej samej książki zmieniono wielkość druku tak, że w  każdym wierszu zmieściło się $a$ liter, a na stronie zmieściło się $b$ wierszy. Ile stron zawierało drugie wydanie książki?

Różnica dwóch liczb wynosi 51,2. Jakie to liczby, jeżeli mniejsza stanowi 20% większej?

W kinie jest 925 miejsc. Na balkonie są rzędy 22-osobowe, a na parterze 25-osobowe. Ile jest rzędów na balkonie, jeżeli na parterze jest o 10 rzędów mniej?

Z dwu miejscowości, leżących przy tej samej szosie i odległych o 14 km wyruszają jednocześnie w tym samym kierunku piechur i rowerzysta. Pierwszy porusza się z prędkością 5,5 km/h, drugi jedzie z prędkością 16 km/h. Po jakim czasie rowerzysta dogoni piechura?

Przed 10 laty ojciec był 7 razy starszy od swojego syna. Po upływie 15 lat ojciec będzie 2 razy starszy od syna. Ile lat ma obecnie ojciec?

Michalina ma 28 znaczków zagranicznych i 16 polskich. Kilka tych znaczków zagranicznych wymieniła na znaczki polskie i wtedy znaczków polskich było więcej niż zagranicznych. Ile mogła zamienić znaczków?

Turysta miał do przebycia 80 km. Pierwszego dnia przebył 60% tego, co dnia drugiego, a trzeciego dnia przebył mniej niż $\frac{2}{5}$ całej drogi. Jakie odcinki drogi mógł przebyć turysta każdego dnia?

Narysuj konstrukcyjnie romb, w którym jeden z kątów ma miarę $60^{\circ}$, a krótsza przekątna ma długość 3 cm. Opisz etapy konstrukcji.

Narysuj konstrukcyjnie trapez $ABCD$, w którym $|AB|=6,5\text{ cm}$, kąt przy wierzchołku $A$ ma $30^{\circ}$, kąt przy wierzchołku $B$ ma $45^{\circ}$ i wysokość ma $1,5\text{ cm}.$

Na liczbach $x$, $y$ wykonano działania $x+y$, $x-y$, $x\cdot y$, $x:y$ i otrzymano liczby: -72, -2, 6, 18. Wyznacz liczby $x$, $y$ wiedząc, że kolejność wypisanych wyników nie musi się pokrywać z kolejnością wymienionych wcześniej działań.

Właściciel domu, chcąc oszczędzić energię elektryczną, dokonał trzech usprawnień, które obniżyły wydatki kolejno o 20%, 25%, 50%. O ile procent łącznie obniżyły się jego wydatki?

Pewien tyran rzekł do rycerza (matematyka młodego):
"Masz szansę uwolnić uwięzioną w baszcie królewnę i uratować swoje życie, jeśli odgadniesz trzy liczby jednocyfrowe $a$, $b$, $c$, które ja pomyślę. Aby ułatwić Ci walkę o uwolnienie królewny i swoje życie, proponuje byś podał mi trzy liczby $x$, $y$ $z$, ja zaś podam Ci wartość wyrażenia $ax+by+cz.$"
Czy młody rycerz-matematyk ma szansę uwolnić królewnę i uratować swoje życie?

Pole pewnego kwadratu jest nie mniejsze od pola prostokąta, którego jeden bok jest o 7 cm dłuższy, a drugi o 3 cm krótszy od boku tego kwadratu. Jaka może być największa długość tego kwadratu?

Długość jednego z boków prostokąta zwiększono o 10%, a długość drugiego zmniejszono o 10%. Jak zmieniło się pole prostokąta?

Pies waży 9 razy więcej niż kot, mysz jest 20 razy lżejsza od kota, a rzepa jest 6 razy cięższa niż mysz. Ile razy pies jest cięższy od rzepy?

Dwie cięciwy o wspólnym końcu dzielą okrąg na trzy łuki o równych długościach. Jaka jest miara kąta pomiędzy cięciwami?

Dwie proste prostopadłe dzielą okrąg na cztery łuki. Kąty środkowe oparte na łukach o mniejszych długościach mają miary $30^{\circ}$, i $45^{\circ}.$ Wyznacz miary kątów środkowych opartych na pozostałych łukach.