Zadanie 1
Wiedząc, że $\frac{a}{a+b}=\frac{1}{2002}$ oblicz $\frac{b}{a+b}$.
Zadanie 2
Uzupełnij kwadrat magiczny.
| $4n^2-2$ | $3$ | |
| $-n^2$ | ||
| $3n$ | ||
| $n$ | ||
| $-6n$ | ||
| $11n$ |
Zadanie 3
Dwie proste prostopadłe dzielą okrąg na cztery łuki. Kąty środkowe oparte na łukach o mniejszych długościach mają miary: $40^{\circ}$ i $50^{\circ}$ . Wyznacz miary kątów środkowych opartych na pozostałych łukach.
Zadanie 4
Pole pewnego kwadratu jest nie mniejsze od pola prostokąta, którego jeden bok jest o 7 cm dłuższy, a drugi o 3 cm krótszy od boku tego kwadratu. Jaka może być największa długość boku kwadratu?
Zadanie 5
Wyznacz miary kątów czworokąta wypukłego, w którym trzy boki mają te same długości, a długość czwartego boku jest równa długości każdej z przekątnych czworokąta.
Zadanie 6
Wyznacz pole czworokąta ABCD, mając współrzędne punktów $A = (-1,-3)$, $B = (-4,1)$, $C = (8,6)$, $D = (6,-1)$.
Zadanie 7
Rozwiąż rebus: $\text{AAA - BBB + CC - D = 1234}$.
Zadanie 8
W trapezie równoramiennym ramiona mają długości 10 cm, a wysokość 6 cm. Oblicz obwód tego trapezu wiedząc, że jego pole wynosi 72 cm2.
Zadanie 9
Odcinek $AB$, gdzie $A = (-2,1)$ i $B = (3,1)$ jest przyprostokątną trójkąta prostokątnego równoramiennego. Wyznacz współrzędne trzeciego wierzchołka tego trójkąta.
Zadanie 10
Pole równoległoboku jest równe $12ab + 7a + 20$. O ile pole tego równoległoboku jest większe od pola trójkąta o podstawie $4a$ i wysokości $3b + 1$?
Zadanie 11
Dany jest pięciokąt foremny $ABCDE$. Punkt $F$ leży wewnątrz pięciokąta i ma taką własność, że trójkąt $ABF$ jest równoboczny. Oblicz miarę kąta $DEF$.
Zadanie 12
Wierzchołki trójkąta prostokątnego równoramiennego leżą na okręgu o promieniu 5 cm. Oblicz pole tego trójkąta.
Zadanie 13
Na okręgu obierz trzy punkty $A$, $B$, $C$ tak, aby powstał trójkąt prostokątny, a miara kąta ostrego $CAB$ wynosiła $30^{\circ}$. Oblicz miary kątów środkowych opartych na łukach wyznaczonych przez przyprostokątne $AC$ oraz $BC$ trójkąta prostokątnego $ABC$.
Zadanie 14
Na zewnątrz trójkąta prostokątnego równoramiennego o przyprostokątnej długości 4 cm zbudowano kwadraty. Jednym z boków każdego kwadratu jest bok tego trójkąta. Punkty przecięcia przekątnych kwadratów wyznaczają trójkąt. Oblicz pole otrzymanego trójkąta.
Zadanie 15
Na okręgu o środku $O$ wybrano trzy różne punkty $A$, $B$, $C$. Oblicz miary kątów $AOB$, $BOC$, $AOC$ jeżeli $|\angle ABC|=98^{\circ}$, a $|\angle BAC|=62^{\circ}$.
Zadanie 16
Dwie proste prostopadłe dzielą okrąg na cztery łuki. Kąty środkowe oparte na łukach o mniejszych długościach mają miary: $30^{\circ}$ i $45^{\circ}$. Wyznacz miary kątów środkowych opartych na pozostałych łukach.
Zadanie 17
Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długości 3 cm oraz 6 cm. Oblicz długość promienia okręgu o środku leżącym na przeciwprostokątnej i stycznego do obu przyprostokątnych.
Zadanie 18
Długość każdego boku kwadratu zwiększono o 5%. O ile procent zwiększyło się pole tego kwadratu, a o ile obwód?
Zadanie 19
W kole narysowano cięciwę $AB$ i równoległą do niej cięciwę $CD$. Uzasadnij, że w trójkącie $ACD$ różnica miar kątów przy wierzchołkach $C$ i $D$ jest równa $90^{\circ}$.
Zadanie 20
Oblicz miary kątów trójkąta równoramiennego, którego wierzchołki leżą na okręgu wiedząc, że jeden z boków jest oparty na $\frac{1}{5}$ długości okręgu.
Zadanie 21
W trójkącie prostokątnym długości przyprostokątnych wynoszą $x$ i 2. Przyprostokątną $x$ zwiększono o 20%, a drugą przyprostokątną zmniejszono o 20%. Jak zmieni się pole tego trójkąta?
Zadanie 22
Oblicz obwód kwadratu, którego pole jest dziewięciokrotnie większe od pola kwadratu o boku długości 8 cm.
Zadanie 23
Ile trójek należy dodać aby otrzymać liczbę: $\text{(a) }3^4$, $\text{(b) }3^{10}$, $\text{(c) }3^{81}$, $\text{(d) }3^{2002}$ ?
Zadanie 24
Jaka jest ostatnia cyfra liczby:
$\text{(a) }3^{23}$, $\text{(b) }4^{16}$, $\text{(c) }1^{20}+3^{40}+4^{50}$, $\text{(d) }5^{32}-4^{12}$?
Zadanie 25
Na podstawie rysunku oblicz miarę kąta $\alpha$.
Zadanie 26
O ile suma liczb $7\frac{3}{5}$ i $-1\frac{2}{3}$ jest większa od ilorazu liczb $1\frac{3}{8}$ i $\frac{1}{4}$?
Zadanie 27
Współrzędne wierzchołków trójkąta $ABC$ wynoszą: $A = (2,-1)$, $B = (-3,2)$, $C = (-3,-3)$. Oblicz pole trójkąta $ABC$.
Zadanie 28
Na ile minimalnie trójkątów można podzielić:
(a) sześciokąt, (b) siedmiokąt, (c) dziewięciokąt, (d) dziesięciokąt?
Zadanie 29
Krótsza przekątna deltoidu dzieli go na dwa trójkąty, z których jeden jest równoboczny. Oblicz miary kątów deltoidu, wiedząc, że najmniejszy z nich ma miarę $34^{\circ}$.
Zadanie 30
W trójkącie dwa kąty wewnętrzne mają miary $102^{\circ}$ i $27^{\circ}$. Oblicz miary wszystkich kątów zewnętrznych tego trójkąta.