Zadania przygotowawcze
do etapu II-go dla uczniów klas VI szkół podstawowych

1 stycznia 2000 roku o godzinie 12 w południe pewne dwa zegary wskazywały prawidłową godzinę. O jednym wiemy, że w ciągu doby spieszy się o 1 minutę, drugi w tym czasie spóźnia się o jedną minutę. Kiedy te zegary wskażą w ciągu doby tę samą godzinę? Czy będzie to w roku 2000?

Uzupełnij kwadraty magiczne:

Wyznaczyć sumę: $ \frac{1}{1\cdot 10} + \frac{1}{10\cdot 19} + \frac{1}{19\cdot 28} + \frac{1}{28\cdot 37}+ \text{...} +\frac{1}{1990\cdot 1999}.$

Wyznacz ilość dzielników liczby $16^5 + 2^{15}.$

Uzupełnij: (a) $3=1^3+\text{...}$, (b) $29=3^3+\text{...} $, (c) $127=(\text{...})^3+2.$

Podaj rozwinięcie dziesiętne skończone wyniku działania 9.0,(4).

Ze zbioru $A=\left\{ \frac{3}{15}, \frac{1}{123},\frac{3}{125},\frac{1}{550},\frac{21}{28}, \frac{12}{45},\frac{1}{12345}, \frac{1}{10^{13}},\frac{77}{2^{77}}\right \}$ wypisz te ułamki, które mają rozwinięcie dziesiętne skończone. Odpowiedź uzasadnij.

Dwaj robotnicy sadzili drzewka. Jeden robotnik posadził w ciągu 6 godzin pewną ilość drzewek, zaś drugi robotnik tę samą ilość drzewek posadził w ciągu 5 godzin. Ile procent większa była wydajność pracy drugiego robotnika?

W konkursie "Liga zadaniowa" liczba wszystkich uczestników z klas VI zmniejszyła się w ciągu roku o 10%, zaś liczba dziewcząt biorących udział w konkursie zwiększyła się z 50% do 55% całej społeczności uczniowskiej. Czy liczba dziewcząt biorących udział w konkursie zmniejszyła się, czy zwiększyła i o ile procent (w porównaniu z rokiem poprzednim)?

1. Wyznacz ostatnią cyfrę liczby $19^{99}.$
2. Uzasadnij, że liczba $19^{99}-19^{19}$ jest podzielna przez 10.

Wyznaczyć ilość dzielników liczby $16^5+2^{15}.$

Dla jakich liczb naturalnych $b$ mniejszych od $10$, wyrażenie: $x=100a+10b+c$ jest liczbą podzielną przez $3$, gdy

$a=\left[\left(1-\frac{2}{3}\right)^2 +\frac{\sqrt{64}}{2^3} \right]:\frac{1}{\sqrt{81}}-1,$

$c=4\cdot \frac{12^0}{\sqrt[3]{8}\cdot 2}+3\cdot \left(2-\frac{2}{\sqrt[3]{64}+2}\right).$

Wielki bogacz choć sknera, Kaczor Kwak
postanowił podzielić swój majątek tak:
Piątą część oraz milion dostał Dyzio mały,
Piątą część reszty oraz dwa miliony
Chyzio wziął w udziały
Tasia pozostałości piątą część i trzy, jeszcze
Bubba z tego co zostało piątą część i cztery, wreszcie
Kaczor zadowolony majątku podziałem
stwierdził, że niniejszym rozdał skarby całe,
a że niezły był przy tym w liczeniu pieniędzy.
Rozdał wszystkim po równo
sam zostając w nędzy
Policz szybko smyku mały
jakie Kwak miał kapitały.

Średnia arytmetyczna 12 liczb wynosi 4. Do tej grupy 12 liczb dołączono jedną liczbę taką, że średnia arytmetyczna tych 13 liczb jest równa 8. Jaką liczbę dołączono?

Mama Iwony zmieszała $5$ litrów mleka o zawartości $\frac{3}{125}$ tłuszczu i $7 $ litrów mleka o zawartości $\frac{21}{500}$ tłuszczu. Jaką część tej mieszaniny stanowił tłuszcz?

Przedstaw liczbę $2\frac{1}{2}$ jako sumę skończonej ilości ułamków o licznikach równych $1$ i o różnych mianownikach.

Liczby $1$ oraz $\frac{3}{7}$ przedstaw jako sumę skończonej ilości ułamków o równych licznikach i o różnych mianownikach.

17% pewnej liczby jest o 1 większe od 12% tej liczby. Znajdź tę  liczbę.

O ile procent powiększy się pole powierzchni sześcianu gdy każdą jego krawędź powiększymy o 25%?

Obliczyć ostatnią cyfrę liczb:$ 2^{103},\; 3^{205},\; 17^{47},\; 84^{105}.$

Uzasadnij, że liczba $123^{123} - 57^{57}$ jest podzielna przez $10.$

Pewien ułamek zwykły ma rozwinięcie dziesiętne $0,(1234).$ Jaka jest w tym rozwinięciu dwudziesta cyfra po przecinku?

Dwaj robotnicy sadzili drzewka. Jeden robotnik posadził w ciągu 5 godzin pewną ilość drzewek, zaś drugi robotnik tę samą ilość drzewek posadził w ciągu 4 godzin. O ile procent większa była wydajność pracy drugiego robotnika?