|
LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU
ZADANIA W ROKU SZKOLNYM 2001/2002
Zadania przygotowawcze do etapu II-go
dla uczniów klas I gimnazjum
|
Tematyka:
1. Obliczanie pól wielokątów.
2. Układ współrzędnych.
3. Działania na wyrażeniach algebraicznych.
4. Kąty w kole.
5. Kąty wierzchołkowe, naprzemianległe, przyległe i odpowiadające.
6. Kąty zewnętrzne i wewnętrzne różnych wielokątów.
|
| Zadanie 1 |
Rozwiąż rebus AAA - BBB + CC - D = 1234.
|
| Zadanie 2 |
Uzupełnij kwadrat magiczny
|
| Rozwiązanie Piotra Bieguna |
| Zadanie 3 |
W okrąg wpisano trójkąt ABC. Wiadomo, że |<)A|=40°, |<)B|=80°. Przez wierzchołek C poprowadzono styczną do okręgu. Styczna ta przecina przedłużenie boku AB w punkcie D. Oblicz kąty trójkąta BCD.
|
| Rozwiązanie Moniki Bonieckiej |
| Zadanie 4 |
Oblicz pole czworokąta ABCD, mając dane współrzędne: punktów: A=(3,2), B=(5,-4), C=(2, -2), D=(-3, -4).
|
| Zadanie 5 |
 Oblicz pole wielokąta przedstawionego na rysunku jeśli wiadomo, że 0<x<1. |
| Rozwiązanie Adrzeja Burka |
| Zadanie 6 |
|
| Rozwiązanie Radka Cywińskiego |
| Zadanie 7 |
W trapezie równoramiennym ramiona mają długość 10 cm, a wysokość 6cm. Oblicz obwód tego trapezu wiedząc, że pole jego wynosi 72 cm2.
|
| Rozwiązanie Pawła Dylewskiego |
| Zadanie 8 |
Odcinek AB, gdzie A = (-2,1), B = (3,1) jest przyprostokątną trójkąta prostokątnego równoramiennego. Wyznacz współrzędne trzeciego wierzchołka tego trójkąta.
|
| Rozwiązanie Weroniki Falkowskiej |
| Zadanie 9 |
| Pole równoległoboku jest równe 12ab + 7a + 20. O ile pole tego równoległoboku jest większe od pola trójkąta o podstawie 4a i wysokości 3b + 1?
|
| Rozwiązanie Ani Ferster |
| Zadanie 10 |
Liczby naturalne a i b są takie, że najmniejsza wspólna wielokrotność liczb a i b jest 8 razy większa od największego wspólnego dzielnika liczb a i b. Pokazać, że b=8a.
|
| Zadanie 11 |
 Na okręgu o środku O wybrano trzy różne punkty A, B, C. Oblicz miary kątów AOB, BOC, AOC jeżeli |<)ABC|=98°, a |<)BAC|=62°. |
| Rozwiązanie Przemka Glinieckiego |
| Zadanie 12 |
Długość boku kwadratu zwiększono o 10%. O ile procent zwiększyło się pole tego kwadratu, a o ile obwód?
|
| Rozwiązanie Michała Janeczka |
| Zadanie 13 |
Dany jest pięciokąt foremny ABCDE. Punkt F leży wewnątrz pięciokąta i ma taką własność, że trójkąt ABF jest równoboczny. Oblicz miarę kąta DEF.
|
| Rozwiązanie Marty Jankowiak |
| Zadanie 14 |
Na zewnątrz trójkąta prostokątnego równoramiennego o przyprostokątnej długości 4 cm zbudowano kwadraty. Jednym z boków każdego kwadratu jest bok tego trójkąta. Punkty przecięcia przekątnych kwadratów wyznaczają trójkąt. Oblicz pole otrzymanego trójkąta.
|
| Zadanie 15 |
Wierzchołki trójkąta prostokątnego równoramiennego leżą na okręgu o promieniu 5 cm. Oblcz pole tego trójkąta.
|
| Rozwiązanie Wojtka Krzemińskiego |
| Zadanie 16 |
Na okręgu obierz trzy punkty A, B, C tak aby powstał trójkąt prostokątny, a miara kąta ostrego CAB wynosiła 30°. Oblicz miary kątów środkowych opartych na łukach wyznaczonych przez przyprostokątne AC i ;BC trójkąta ABC.
|
| Rozwiązanie Marcina Kusza |
| Zadanie 17 |
W kole narysowano średnicę AB i równoległą do niej cięciwę CD. Udowodnij, że w trójkącie ACD różnica miar kątów przy wierzchołkach C i D jest równa 90°.
|
| Rozwiązanie Tomka Mentzena |
| Zadanie 18 |
W okrąg wpisano trójkąt ABC, gdzie |<)A|=50°, |<)B|=70°. Przez wierzchołek C poprowadzono styczną do okręgu przecinającą przedłużenie boku AB w punkcie D. Oblicz kąty trójkąta BCD.
|
| Rozwiązanie Tomka Nowaka |
| Zadanie 19 |
Oblicz miary kątów trójkąta równoramiennego, którego wierzchołki leżą na okręgu wiedząc, że jeden z boków jest oparty na łuku stanowiącym 1/5 okręgu.
|
| Rozwiązanie Miłosza Pietruskiego |
| Zadanie 20 |
W trójkącie prostokątnym długości przyprostokątnych wynoszą x i 2. Przyprostokątną x zwiększono o 20%, a drugą przyprostokątną zmniejszono o 20%. Jak zmieni się pole tego trójkąta?
|
| Rozwiązanie Justyny Piotrowskiej |
| Zadanie 21 |
W trójkącie równoramiennym ABC, w którym |AB|=|BC|, miara kąta zewnętrznego przy wierzchołku B jest równa 130°. Wyznacz miary kątów wewnętrznych trójkąta.
|
Rozwiązanie Filipa Romanowskiego
|
| Zadanie 22 |
Trzy cięciwy okręgu o środku O tworzą trójkąt o wierzchołkach A, B, C. Odcinek CO dzieli kąt ACB w stosunku 1:2. Miara kąta AOB jest równa 150°. Wyznacz miary kątów trójkąta ABC.
|
| Zadanie 23 |
W trapezie równoramiennym ABCD, w którym |AB|=BC|=|CD| przekątna AC jest prostopadła do boku BC. Oblicz miary kątów tego trapezu.
|
Zadanie 24
 Na kwadracie ABCD o boku 1 opisano okrąg o środku w punkcie A i promieniu AB. Oblicz pole figury zacieniowanej na rysunku.
|
| Rozwiązanie Jakuba Strześniewskiego |
| Zadanie 25 |
Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długości 3 cm oraz 6 cm. Oblicz długość promienia okręgu o środku leżącym na przeciwprostokątnej i stycznego do obu przyprostokątnych.
|
| Zadanie 26 |
Dwie proste prostopadłe dzielą okrąg na cztery łuki. Kąty środkowe oparte na łukach o mniejszych długościach maja miary 30° i 45°. Wyznacz miary kątów środkowych opartych na pozostałych łukach.
|
| Zadanie 27 |
Jak podzielić sprawiedliwie trzy jednakowe arbuzy pomiędzy cztery osoby wykonując jak najmniej cięć?
|
| Rozwiązanie Jakuba Gierszała |
Zadanie 28
Rozwiąż w liczbach naturalnych równanie  .
|