Zadanie 1
Rozwiąż rebus: $\text{AAAA - BBB + CC = 1234}$
Zadanie 2
Uzupełnij kwadrat magiczny.
| $7n^2-2$ | $3$ | |
| $3n^2$ | ||
| $-n^2+2$ |
Zadanie 3
W okrąg wpisano trójkąt $ABC$, gdzie $|\angle A|=40^{\circ}$, $|\angle B|=80^{\circ}$.
Przez wierzchołek $C$ poprowadzono styczną do okręgu przecinającą przedłużenie boku $AB$ w punkcie $D$. Oblicz kąty trójkąta $BCD.$
Zadanie 4
Oblicz pole czworokąta $ABCD$, mając dane współrzędne punktów $A=(3,2)$, $B=(5,-4)$, $C=(2,-2)$, $D=(-3,-4).$
Zadanie 5
Oblicz pole wielokąta przedstawionego na rysunku wiedząc, że $0 < x < 1.$
Zadanie 6
Wiedząc, że $\frac{a}{a+b}=\frac{1}{3}$, obliczyć $\frac{3b}{a+b}.$
Zadanie 7
W trapezie równoramiennym ramiona mają długość 10 cm, a wysokość 6 cm. Oblicz obwód tego trapezu wiedząc,
że pole jego wynosi 72 cm2.
Zadanie 8
Odcinek $AB$, gdzie $A = (-2,1)$, $B = (3,1)$ jest przyprostokątną trójkąta prostokątnego równoramiennego.
Wyznacz współrzędne trzeciego wierzchołka tego trójkąta.
Zadanie 9
Pole równoległoboku jest równe $12ab + 7a + 20.$ O ile pole tego równoległoboku jest większe
od pola trójkąta o podstawie $4a$ i wysokości $3b + 1$?
Zadanie 10
Liczby naturalne $a$ i $b$ są takie, że najmniejsza wspólna wielokrotność liczb $a\text{ i }b$ jest 8 razy większa od największego wspólnego dzielnika liczb $a$ i $b$. Pokazać,$\text{ że }b=8a.$
Zadanie 11
Na okręgu o środku $O$ wybrano trzy różne punkty $A$, $B$, $C$. Oblicz miary kątów $AOB$, $BOC$, $AOC$ jeżeli $|\angle ABC|=98^{\circ}$, a $|\angle BAC|=62^{\circ}$.
Zadanie 12
Długość boku kwadratu zwiększono o 10%. O ile procent zwiększyło się pole tego kwadratu, a o ile obwód?
Zadanie 13
Dany jest pięciokąt foremny $ABCDE$. Punkt $F$ leży wewnątrz pięciokąta i ma taką własność, że trójkąt $ABF$ jest równoboczny. Oblicz miarę kąta $DEF$.
Zadanie 14
Na zewnątrz trójkąta prostokątnego równoramiennego o przyprostokątnej długości 4 cm zbudowano kwadraty.
Jednym z boków każdego kwadratu jest bok tego trójkąta.
Punkty przecięcia przekątnych kwadratów wyznaczają trójkąt. Oblicz pole otrzymanego trójkąta.
Zadanie 15
Wierzchołki trójkąta prostokątnego równoramiennego leżą na okręgu o promieniu 5 cm. Oblcz pole tego trójkąta.
Zadanie 16
Na okręgu obierz trzy punkty $A$, $B$, $C$ tak aby powstał trójkąt prostokątny, a miara kąta ostrego $CAB$ wynosiła $30^{\circ}$.
Oblicz miary kątów środkowych opartych na łukach wyznaczonych przez przyprostokątne $AC$ i $BC$ trójkąta $ABC$.
Zadanie 17
W kole narysowano średnicę $AB$ i równoległą do niej cięciwę $CD$. Udowodnij, że w trójkącie $ACD$ różnica
miar kątów przy wierzchołkach $C$ i $D$ jest równa $90^{\circ}$.
Zadanie 18
W okrąg wpisano trójkąt $ABC$, gdzie $|\angle A|=50^{\circ}$, $|\angle B|=70^{\circ}$.
Przez wierzchołek $C$ poprowadzono styczną do okręgu przecinającą przedłużenie boku $AB$ w punkcie $D$.
Oblicz kąty trójkąta $BCD$.
Zadanie 19
Oblicz miary kątów trójkąta równoramiennego, którego wierzchołki leżą na okręgu wiedząc, że jeden z boków jest oparty na łuku stanowiącym $\frac{1}{5}$ okręgu.
Zadanie 20
W trójkącie prostokątnym długości przyprostokątnych wynoszą $x$ i $2$. Przyprostokątną $x$ zwiększono o 20%,
a drugą przyprostokątną zmniejszono o 20%. Jak zmieni się pole tego trójkąta?
Zadanie 21
W trójkącie równoramiennym $ABC$, w którym $|AB|=|BC|$, miara kąta zewnętrznego przy wierzchołku $B$ jest równa $130^{\circ}$.
Wyznacz miary kątów wewnętrznych trójkąta.
Zadanie 22
Trzy cięciwy okręgu o środku $O$ tworzą trójkąt o wierzchołkach $A$, $B$, $C$. Odcinek $CO$ dzieli kąt $ACB$ w stosunku 1:2.
Miara kąta $AOB$ jest równa $150^{\circ}$. Wyznacz miary kątów trójkąta $ABC$.
Zadanie 23
W trapezie równoramiennym $ABCD$, w którym $|AB|=BC|=|CD|$ przekątna $AC$ jest prostopadła do boku $BC$. Oblicz miary kątów tego trapezu.
Zadanie 24
Na kwadracie $ABCD$ o boku 1 opisano okrąg o środku w punkcie $A$ i promieniu $AB$.
Oblicz pole figury zacieniowanej na rysunku.
Zadanie 25
Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długości 3 cm oraz 6 cm.
Oblicz długość promienia okręgu o środku leżącym na przeciwprostokątnej i stycznego do obu przyprostokątnych.
Zadanie 26
Dwie proste prostopadłe dzielą okrąg na cztery łuki. Kąty środkowe oparte na łukach o mniejszych długościach mają miary $30^{\circ}$ i $45^{\circ}$. Wyznacz miary kątów środkowych opartych na pozostałych łukach.
Zadanie 27
Jak podzielić sprawiedliwie trzy jednakowe arbuzy pomiędzy cztery osoby wykonując jak najmniej cięć?
Zadanie 28
Rozwiąż w liczbach naturalnych równanie $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{14}$.