|
LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU
ZADANIA W ROKU SZKOLNYM 2000/2001
Zadania do etapu II-go
dla uczniów klas I gimnazjum
|
|
|
Tematyka
1. Obliczanie pól wielokątów.
2. Układ współrzędnych.
3. Działania na wyrażeniach wymiernych.
4. Kąty w kole.
|
Zadanie 1 |
W trapezie równoramiennym ramiona mają długość 10 cm a wysokość 6 cm. Oblicz obwód tego trapezu wiedząc, że jego pole wynosi 72 cm2.
|
| Rozwiązanie Mariusza Banacha |
| Zadanie 2 |
Odcinek AB, gdzie A=(-2,1), B=(3,1) jest przyprostokątną trójkąta prostokątnego równoramiennego. Wyznacz współrzędne trzeciego wierzchołka tego trójkąta.
|
| Rozwiązanie Kamila Ciszaka |
| Zadanie 3 |
Pole równoległoboku jest równe 12ab+7a+20. O ile pole tego równoległoboku jest większe od pola trójkąta o podstawie 4a i wysokości 3b+1?
|
| Rozwiązanie Łukasza Glińskiego |
| Zadanie 4 |
|
Dany jest odcinek c i kąt ostry a. Zbuduj trójkąt prostokątny, którego przeciwprostokątna jest równa c, a jeden z jego kątów ostrych jest równy a. ALIGN="RIGHT" |
| Zadanie 5 |
Na okręgu o środku O obrano trzy różne punkty A, B, C. Oblicz miary kątów AOB, BOC, AOC jeżeli |<ABC|=98o, a |<BAC|=62o.
|
|
| Rozwiązanie Agaty Kapicy |
| Zadanie 6 |
Długość boku kwadratu zwiększono o 10%. O ile procent zwiększyło się pole tego kwadratu, a o ile obwód?
|
| Rozwiązanie Karoliny Kapicy |
| Zadanie 7 |
Dany jest pięciokąt foremny ABCDE. Punkt F leży wewnątrz pięciokąta i ma taką własność, że trójkąt ABF jest równoboczny. Oblicz miarę kąta DEF.
|
| Rozwiązanie Joasi Klimek |
| Zadanie 8 |
Na zewnątrz trójkąta prostokątnego równoramiennego o przyprostokątnej długości 4 cm zbudowano kwadraty. Jednym z boków każdego kwadratu jest bok tego trójkąta. Punkty przecięcia przekątnych kwadratów wyznaczają trójkąt. Oblicz pole otrzymanego trójkąta.
|
| Rozwiązanie Ewy Kocyk |
| Zadanie 9 |
Wierzchołki trójkąta prostokątnego równoramiennego leżą na okręgu o promienu 5 cm. Oblicz pole tego trójkąta.
|
| Rozwiązanie Joasi Konstanty |
| Zadanie 10 |
Na okręgu obierz trzy punkty A, B, C tak aby powstał trójkąt prostokątny, a miara kąta CAB wynosiła 30o. Oblicz miary kątów środkowych opartych na łukach wyznaczonych przez przyprostokątne AC oraz BC trójkąta prostokątnego ABC.
|
| Rozwiązanie Maćka Kopczyńskiego |
| Zadanie 11 |
W kole narysowano średnicę AB i równoległą do niej cięciwę CD. Udowodnij, że w trójkącie ACD różnica miar kątów przy wierzchołkach C i D jest równa 90o.
|
| Rozwiązanie Marcina Liberackiego |
| Zadanie 12 |
W okrąg wpisano trójkąt ABC, gdzie |<A|=50o, |<B|=70o. Przez wierzchołek C poprowadzono styczną do okręgu przecinającą przedłużenie boku AB w punkcie D. Oblicz kąty trójkąta BCD.
|
| Rozwiązanie Kamila Maksymiaka |
| Zadanie 13 |
Oblicz miary kątów trójkąta równoramiennego, którego wierzchołki leżą na okręgu wiedząc, że jeden z boków jest oparty na 1/5 długości okręgu.
|
| Rozwiązanie Krzysztofa Maliszewskiego |
| Zadanie 14 |
W trójkącie prostokątnym długości przyprostokątnych wynoszą x i 2. Przyprostokątną o długości x zwiększono o 20%, a drugą przyprostokątną zmniejszono o 20%. Jak zmieni się pole tego trójkąta?
|
| Rozwiązanie Rafała Mikulskiego |
| Zadanie 15 |
W trójkącie równoramiennym ABC, w którym |AB|=|BC|, miara kąta zewnętrznego przy wierzchołku B jest równa 130o. Wyznacz miary kątów wewnętrznych tego trójkąta.
|
| Rozwiązanie Łukasza Mossakowskiego |
| Zadanie 16 |
W okręgu o środku O poprowadzono trzy cięciwy tak, aby utworzyły one trójkąt ABC. Odcinek CO dzieli kąt ACB w stosunku 1:2. Miara kąta AOB wynosi 150o. Wyznacz miary kątów trójkąta ABC.
|
| Rozwiązanie Agnieszki Osmoły |
| Zadanie 17 |
W trapezie równoramiennym ABCD, w którym |AD|=|BC|=|CD| przekątna AC jest prostopadła do boku BC. Oblicz miary kątów tego trapezu.
|
| Rozwiązanie Joasi Płachcińskiej |
Zadanie 18
Na kwadracie ABCD o boku 1 opisano okrąg, a następnie wykreślono okrąg o środku w punkcie A i promieniu AB.
Oblicz pole figury zakolorowanej na rysunku.
|
 |
| Rozwiązanie Agaty Rakowicz |
| Zadanie 19 |
Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długości 3cm i 6cm. Oblicz długość promienia okręgu o środku leżącym na przeciwprostokątnej i stycznego do obu przyprostokątnych.
|
| Rozwiązanie Pawła Rybackiego |
Zadanie 20
Dwie proste prostopadłe dzielą okrąg na cztery łuki. Kąty środkowe oparte na łukach o mniejszych długościach mają miary 30o i 40o. Wyznacz miary kątów środkowych opartych na pozostałych łukach.
|
| Rozwiązanie Moniki Skockiej |
| Zadanie 21 |
| Jak podzielić sprawiedliwie trzy jednakowe arbuzy pomiędzy cztery osoby, wykonując jak najmniej cięć? |
| Rozwiązanie Marty Stolarskiej |
| Zadanie 22 |
Rozwiąż w liczbach naturalnych równanie:
|
| Rozwiązanie Bartka Wacławczyka |
Zadanie 23
Wyznacz cyfrę jedności liczby 71999.
|
| Rozwiązanie Piotra Wasilewskiego |
| Zadanie 24 |
Dwucyfrowa liczba została podzielona przez sumę swoich cyfr. Jaka jest największa możliwa wartość reszty z tego dzielenia?
|
| Rozwiązanie Łukasza Wudarskiego |
| Zadanie 25 |
Dany jest trójkąt prostokątny ABC.
A1 jest punktem symetrycznym do A względem punktu B,
B1 jest punktem symetrycznym do B względem punktu C,
C1 jest punktem symetrycznym do C względem punktu A.
Ile razy pole trójkąta A1B1C1 jest większe od pola trójkąta ABC?
|
|
| Zadanie 26 |
Udowodnij, że dla dowolnej liczby rzeczywistej x, wyrażenie x2-2x+12 ma wartość dodatnią.
|
| Zadanie 27 |
Rozwiąż rebus REBUS=(R+E+B+U+S)3
|
| Zadanie 28 |
Rozwiąż rebus REBUS=(R+E+B+U+S)3
|
| Zadanie 26 |
Dla liczby naturalnej n przez p(n) oznaczmy iloczyn cyfr liczby n.
Na przykład p(23)=6, p(100)=0, p(1999)=729.
Obliczyć p(1)+p(2)+p(3)+...+p(2000).
|
| Zadanie 29 |
Wyznacz najmniejszą wartość wyrażenia 4x2-4x+11.
|
| Zadanie 30 |
Liczba A zapisana jest przy pomocy tylko samych dziewiątek w ilości 31999.
Niech A1 będzie sumą cyfr liczby A, A2 będzie sumą cyfr liczby A1,
A3 sumą cyfr liczby A2,
A4 sumą cyfr liczby A3. Wyznaczyć liczbę A4.
|
| Zadanie 31 |
Liczby naturalne a i b są takie, że a jest mniejsze od b.
Najmniejsza wspólna wielokrotność liczb a i b jest 8 razy większa od największego wspólnego dzielnika liczb a i b.
Pokazać, że b=8a.
|