Zadanie 1
W trapezie równoramiennym ramiona mają długość 10 cm a wysokość 6 cm.
Oblicz obwód tego trapezu wiedząc, że jego pole wynosi 72 cm2.
Zadanie 2
Odcinek $AB$, gdzie $A=(-2,1)$, $B=(3,1)$ jest przyprostokątną trójkąta prostokątnego równoramiennego. Wyznacz współrzędne trzeciego wierzchołka tego trójkąta.
Zadanie 3
Pole równoległoboku jest równe $12ab+7a+20.$
O ile pole tego równoległoboku jest większe od pola trójkąta o podstawie $4a$ i wysokości $3b+1?$
Zadanie 4
Dany jest odcinek $c$ i kąt ostry $\alpha.$ Zbuduj trójkąt prostokątny, którego przeciwprostokątna
$\text{jest równa }c$, a jeden z jego kątów ostrych $\text{jest równy }\alpha.$
Zadanie 5
Na okręgu obrano trzy różne punkty $A$, $B$, $C.$
Oblicz miary kątów $AOB $, $BOC $, $AOC $
jeżeli $|\angle ABC|=98^{\circ}$, $\text{i }|\angle BAC|=62^{\circ}.$
Zadanie 6
Długość boku kwadratu zwiększono o 10%. O ile procent zwiększyło się pole tego kwadratu,
a o ile obwód?
Zadanie 7
Dany jest pięciokąt foremny $ABCDE$. Punkt $F$ leży wewnątrz pięciokąta i ma taką własność, że trójkąt $ABF$ jest równoboczny.
Oblicz miarę $\text{kąta }DEF.$
Oblicz miarę $\text{kąta }DEF.$
Zadanie 8
Na zewnątrz trójkąta prostokątnego równoramiennego o przyprostokątnej długości 4 cm zbudowano kwadraty. Jednym z boków każdego kwadratu jest bok tego trójkąta. Punkty przecięcia przekątnych kwadratów wyznaczają trójkąt.
Oblicz pole otrzymanego trójkąta.
Oblicz pole otrzymanego trójkąta.
Zadanie 9
Wierzchołki trójkąta prostokątnego równoramiennego leżą na okręgu o promienu 5 cm.
Oblicz pole tego trójkąta.
Oblicz pole tego trójkąta.
Zadanie 10
Na okręgu obierz trzy punkty $A$, $B$, $C$ tak aby powstał trójkąt prostokątny, a miara kąta $CAB$ wynosiła $30o^{\circ}.$
Oblicz miary kątów środkowych opartych na łukach wyznaczonych przez przyprostokątne $AC$ oraz $BC$ trójkąta prostokątnego $ABC.$
Oblicz miary kątów środkowych opartych na łukach wyznaczonych przez przyprostokątne $AC$ oraz $BC$ trójkąta prostokątnego $ABC.$
Zadanie 11
W kole narysowano średnicę $AB$ i równoległą do niej cięciwę $CD$. Udowodnij, że w trójkącie $ACD$ różnica miar kątów przy wierzchołkach $C$ i $D$ jest równa $90^{\circ}.$
Zadanie 12
W okrąg wpisano trójkąt $ABC$, gdzie $|\angle A|=50^{\circ}$, $|\angle B|=70^{\circ}.$ Przez wierzchołek $C$ poprowadzono styczną do okręgu przecinającą przedłużenie boku $AB$ w punkcie $D.$
Oblicz kąty trójkąta $BCD.$
Oblicz kąty trójkąta $BCD.$
Zadanie 13
Oblicz miary kątów trójkąta równoramiennego, którego wierzchołki leżą na okręgu
wiedząc, że jeden z boków jest oparty na $\frac{1}{5}$ długości okręgu.
Zadanie 14
W trójkącie prostokątnym długości przyprostokątnych wynoszą $x$ i 2. Przyprostokątną o długości $x$ zwiększono o 20%, a drugą przyprostokątną zmniejszono o 20%. Jak zmieni się
pole tego trójkąta?
Zadanie 15
W trójkącie równoramiennym $ABC$, w którym $|AB|=|BC|$, miara kąta zewnętrznego przy wierzchołku $B$ jest równa $130^{\circ}.$ Wyznacz miary kątów wewnętrznych tego trójkąta.
Zadanie 16
W okręgu o środku $O$ poprowadzono trzy cięciwy tak, aby utworzyły one trójkąt $ABC.$ Odcinek $CO$ dzieli kąt $ACB$ w stosunku 1:2. Miara kąta $AOB$ wynosi $150^{\circ}.$ Wyznacz miary kątów trójkąta $ABC.$
Zadanie 17
W trapezie równoramiennym $ABCD$, w którym $|AD|=|BC|=|CD|$ przekątna $AC$ jest prostopadła do boku $BC.$
Oblicz miary kątów tego trapezu.
Oblicz miary kątów tego trapezu.
Zadanie 18
Na okręgu obrano trzy różne punkty $A$, $B$, $C.$
Oblicz miary kątów $AOB $, $BOC $, $AOC $
jeżeli $|\angle ABC|=98^{\circ}$, $\text{i }|\angle BAC|=62^{\circ}.$
Zadanie 19
Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długości 3 cm i 6 cm.
Oblicz długość promienia okręgu o środku leżącym na przeciwprostokątnej i stycznego do obu przyprostokątnych.
Zadanie 20
Dwie proste prostopadłe dzielą okrąg na cztery łuki. Kąty środkowe oparte na łukach o mniejszych długościach mają miary $30^{\circ}$ i $40^{\circ}.$ Wyznacz miary kątów środkowych opartych na pozostałych łukach.
Zadanie 21
Jak podzielić sprawiedliwie trzy jednakowe arbuzy pomiędzy cztery osoby, wykonując jak najmniej cięć?
Zadanie 22
Rozwiąż w liczbach naturalnych równanie: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{14}.$
Zadanie 23
Wyznacz cyfrę jedności liczby $7^{1999}?$
Zadanie 24
Dwucyfrowa liczba została podzielona przez sumę swoich cyfr. Jaka jest największa możliwa wartość reszty z tego dzielenia?
Zadanie 25
Dany jest trójkąt prostokątny $ABC.$
$A_1$ jest punktem symetrycznym do A względem punktu $B,$
$B_1$ jest punktem symetrycznym do B względem punktu $C,$
$C_1$ jest punktem symetrycznym do C względem punktu $A.$
Ile razy pole trójkąta $A_1B_1C_1$ jest większe od pola trójkąta $ABC$?
Zadanie 26
Udowodnij, że dla dowolnej liczby rzeczywistej $x$, wyrażenie $x^2-2x+12$ ma wartość dodatnią.
Zadanie 27
Rozwiąż rebus $\text{REBUS=(R+E+B+U+S)}^3$.
Zadanie 28
Dla liczby naturalnej $n $ przez $p(n) $ oznaczmy iloczyn cyfr liczby $n.$
Na przykład $p(23)=6 $, $p(100)=0 $, $p(1999)=729.$
Obliczyć $p(1)+p(2)+p(3)+...+p(2000). $
Na przykład $p(23)=6 $, $p(100)=0 $, $p(1999)=729.$
Obliczyć $p(1)+p(2)+p(3)+...+p(2000). $
Zadanie 29
Wyznacz najmniejszą wartość wyrażenia $4x^2-4x+11.$
Zadanie 30
Liczba $A$ zapisana jest przy pomocy tylko samych dziewiątek w ilości $3^{1999}.$ Niech $A_1$ będzie sumą cyfr liczby $A$, $A_2$ będzie sumą cyfr liczby $A_1$, $A_3$ sumą cyfr liczby $A_2$, $A_4$ sumą cyfr liczby $A_3.$
Wyznaczyć liczbę $A_4.$
Wyznaczyć liczbę $A_4.$
Zadanie 31
Liczby naturalne $a$ i $b$ są takie, że $a$ jest mniejsze od $b.$
Najmniejsza wspólna wielokrotność liczb $a$ i $b$ jest 8 razy większa od największego wspólnego dzielnika liczb $a$ i $b.$
Pokazać, że $b=8a.$
Pokazać, że $b=8a.$